hathu123

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $$3\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 2abc \geqslant 11\sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)}^3}} $$

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng: $$\frac{b}{{{a^2}}} + \frac{c}{{{b^2}}} + \frac{a}{{{c^2}}} \geqslant 3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)$$Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $$\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{c^2} + ab}} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + bc}} + \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{{b^2} + ac}} \geqslant 6$$

Cho $a,b,c>.$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{9xyz}} + \frac{3}{{xy + yz + xz}}$$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $${a^3} + {b^3} + {c^3} \leqslant \sqrt {3\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {b^2}c - {c^2}a} \right)}  + 3abc$$