MoMo123

Đây là ảnh thành viên Lao Hac, mọi người cùng chiêm ngưỡng

Nó mới từ NP trở về ak kkkkkkkkkkkkkkk

@Dũng: m có bt đợt m kêu t là ''con'' là m đang ns chuyện vs ông anh khó tính của t ko, ông đòi không cho t lên VMF luôn đấy, may cho m là t xin kịp, chứ ko có thì m cx tỏi 

kkk, cái đó là một ĐHV dùng đấy, ko phải t đâu =)))))))))))))

ảnh chụp hơi mờ, tối cho xem lại ))))))))))))))))))))

Đây là lí do mà mình luôn ở ẩn, mình là girl =))

Tên mình là Nguyễn Bảo Dung, hân hạnh được làm quen vs các bạn

Câu 5: (1,0 điểm)

 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2$                                                                                                        

 

Ta có

$$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}} =\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\frac{2a}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}$$

$$\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\frac{}{(b+c)(b+a)} \leq \frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{a+b}$$

$$\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} =\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{c}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{c}{4(b+c)}+\frac{c}{c+a}$$

Nên $$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{9}{4}$$

Ta có $\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2} \geq 7ab$

          $\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2} \geq 7bc$

          $\frac{7}{2}(b^2+c^2) \geq 7ca$

Nên $a^2+28b^2+2c^2 \geq 7(ab+bc+ca)=7$

$\Rightarrow -a^2-28b^2-28c^2 \leq -7$

Vậy $P\leq \frac{9}{4}-7 =-\frac{19}{4}$

Dấu bằng xảy ra tại $a=7b=7c$

 

Nguồn: facebook Bùi Xuân Tiên

Câu cuối:

Cách 1: 

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0$

Khai triển và đưa về 

$\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}+\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2abc}+\frac{b(c^2+a^2-b^2)}{2abc}> \frac{2abc}{2abc}$

hay $$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}>1$$

Cách 2:

Ta cần chứng minh

$$\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}+\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}+\frac{(c+a)^2-b^2}{2ca} >4$$

$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}+\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}+\frac{(c+a-b)(a+b+c)}{2ca} >4$$

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a+b-c=2m & & & \\ b+c-a=2n & & & \\ c+a-b=2p & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=m+p & & & \\ b=m+n & & & \\ c=n+p & & & \end{matrix}\right.$

và $a+b+c=2(m+n+p)$

Quy về chứng minh

$$\sum\frac{m(m+n+p)}{(m+n)(m+p)} >2$$

$$\Leftrightarrow (m+n+p)(mn+np+pm) > (m+n)(n+p)(p+m)$$

$$\Leftrightarrow (m+n)(n+p)(p+m)+mnp > (m+n)(n+p)(p+m)$$ (đúng)

P/s: Bài này còn chứng minh được $\leq \frac{3}{2}$ theo bất đẳng thức Schur nữa

   UBND TỈNH THÁI NGUYÊN                                                           THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                           NĂM HỌC 2018-2019

$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                                     MÔN THI: TOÁN HỌC 

                                                                                                                                 Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

                                                                                                            Thời gian làm bài : 180 phút( không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(1,5 điểm )

Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:

$$A= \frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-\frac{3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$$

Câu 2(1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x & & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3:( 1 điểm)

Tìm các số $x;y$ nguyên dương thỏa mãn 

$$16(x^3-y^3)=15xy+371$$

Câu 4:(1 điểm) Giải phương trình

$$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x=14$$

Câu 5:( 1, 5 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương.Chứng minh

$$\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}+\frac{y^2}{\sqrt{8y^2+3z^2+14yz}}+\frac{z^2}{\sqrt{8z^2+3x^2+14xz}} \leq \frac{x+y+z}{5}$$

Câu 6: 

Cho $\Delta ABC$ cân có$ \angle BAC=100^0$ . Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BC sao cho $\angle CBD=15^0; \angle BCD= 35^0$. Tính số đo $\angle ADB$

Câu 7: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $AB < AC$, các đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại H( $D \in AC$, $E \in AB$). Gọi M là trung điểm BC. Tia MH cắt (O) tại N.

a) Chứng minh $A,D,E,H,N$ cùng thuộc một đường tròn

b) Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho $\angle BHP=\angle CHM$. Q là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng HP. Chứng minh DENQ là hình thang cân

c) $(MPQ)$ tiếp  xúc với $(O)$

P/s: 7 bài trong 1 trang, ông ra đề đỉnh quá

Coi như làm lại bài hình cho dễ hiểu 

B)

Gọi T là trung điểm BC Từ đó $\Rightarrow TO=TM=TA=TI=TB$

Nên $I \in $ trung trực MA. mà P cũng thuộc trung trực MA. Nên M và A đối xứng với nhau qua PI. $\Rightarrow IP $ là phân giác $\angle MIA$

Tương tự, IQ là phân giác $\angle MIB$

Ta có;$\angle PIM+\angle MIQ=\frac{\angle ATB}{2} = \angle AIB =180^0-\angle POQ$

Nên $ T \in (POQ)$ hay POQT nội tiếp

Ta có$\angle PMA=\angle PAM =\angle QBM=\angle QMB$

$\Rightarrow \angle PMQ=\angle AMB =\angle AOB$

Nên $ MOQP$ nội tiếp

Vậy $(MPQ)$ đi qua T. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta PMQ$ thuộc trung trực OT cố định.( ĐPCM)

Câu 3 (phỏng theo lời giải của thầy Võ Quốc Bá Cẩn) 

Ta có: $\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^2}{c(a+b+c)}\geq \frac{(a+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$ (bất đẳng thức Schwarz)

Làm tương tự với 3 phân thức còn lại ta có:

$\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geq 1$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c> 0$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài này dùng Vasc cũng được thì phải ạ

BĐT tương đương

$$\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^2} \geq 1$$

 Đến đây đặt $\frac{a}{b}=x; \frac{b}{c}=y ; \frac{c}{a}=z$ $\Rightarrow xyz =1$

Đưa về chứng minh $\sum \frac{x^2}{x^2+x+1}\geq 1$

Theo Vasc thì nó đúng

Lời giải của mình khá "vất vả" nhưng đem lại hiệu quả: 

Quy đồng ta có BĐT tương đương:

$\sum (a+1)^2(b+1)^2+2(a+1)(b+1)(c+1)\geq (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+4(a+b+c)-6abc-a^2b^2c^2-2abc(ab+bc+ca)-4abc(a+b+c)+4 \geq 0$

Thay $abc=1$ ta có BĐT trở thành: $a^2+b^2+c^2\geq 3$ (đúng theo AM-GM)

p/s: Bên mình sắp thi rồi, mùng 7,8 tháng 6. Mong bạn sớm đưa ra lời giải hay hơn   

Thi sớm nhỉ, xong cấp 3 là thi chuyên luôn rồi. Còn bài này mình đăng lên cho hay thế thôi, chứ cách mình cũng trâu bò như vậy .

$\boxed{\text{Bài 146}}$ Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $(x-y)(x-z) =1$ ,$y \neq z$ Chứng minh 

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq 4$$

$\boxed{\text{Bài 147}}$ Chứng minh rằng nếu $x,y,z \in [-1;1]$ thỏa mãn điều kiện

$x+y+z+xyz =0$ thì $$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1} \leq 3$$

Ta có:

$12=2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\leq (a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\Leftrightarrow 12\leq 3+3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow 3\leq a^2+b^2+c^2$

p/s: Bài này quá cơ bản rồi 

Bên đó thi chuyên chưa?

$\boxed{\text{Bài 143}}$ Cho $a,b,c >0$ ;abc=1.

Chứng minh $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 1$

$\boxed{\text{Bài 144}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh $$2(ab+bc+ca) -3abc\geq a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+b\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}+c\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

Gõ ra phòng mất đề

UBND TỈNH BẮC NINH                                                                ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN 

        SỞ GD & ĐT                                                                                                NĂM HỌC 2018-2019 

                                                                                                             Môn thi: TOÁN(  Dành cho thí sinh chuyên Toán và Tin)

                                                                                                                         Thời gian: 150 phút

Câu 1 (2,5 đ)

a) Rút gọn biểu thức

$$P= [\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}} -\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}] :\frac{4\sqrt{a^4-a^2b^2}}{b^2}$$

với $|a|>|b|>0$

b) Cho phương trình $x^2+ax+b=0(1)$, x là ẩn , a, b là tham số. Tìm a,b sao cho (1) có nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn 

$\left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}=5 & & \\ x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35 & & \end{matrix}\right.$

Câu 2(2.5 đ)

a) Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1} =x+3$

b) Cho các số thực $a,b,c$ thảo mãn $0\leq a,b,c \leq 2$ và $a+b+c =3$ Tìm Max và Min của biểu thức 

$$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$

Câu 3(1.5đ)

a)Tìm cặp số nguyên tố $(x;y)$ thỏa mãn $x^2-2y^2=1$

b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.

Câu 4( 3.0 đ)

1)Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến  AB,AC (B,C là tiếp điểm ) . AO cắt BC tại H. Đường tròn đường kính CH cắt (O) tại điểm thứ 2 là D. Gọi T là trung điểm BD

a) Chứng minh ABHD nội tiếp

b) Gọi E là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính AB với AC. S là giao của AO với BE. Chứng minh TS//HD

2) Cho $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại 2 điểm A,b. Gọi MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với M thuộc $(O_{1})$, N thuộc $O_{2}$ . Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN cắt $O_{1}; O_{2}; BM;BN$ lần lượt tại C,D,F,G. Gọi E là giao của CM và DN. Chứng minh EF=EG

Câu 5 

Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao cho tích của chúng là 1 số chính phương.

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN của biểu thức:

        P =  $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc$.

Giống đề thi Phú Thọ năm ngoái

Solution:

Xét $3(a^2+b^2+c^2) =3[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]=27-6(ab+bc+ca)=27-2(a+b+c)(ab+bc+ca) =27-2(\sum a^2b +\sum ab^2+3abc) $

Nên $$P=27-2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$$

KMTTQ, giả sử $b$ nằm giữa $a,\,c$

$\rightarrow a(b-c)(b-a) \leq 0 $

$$\Leftrightarrow ab^2+ca^2 \leq a^2b+abc$$

$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq a^2b+bc^2+2abc =b(a+c)^2  =\frac{2b(3-b)(3-b)}{2} \leq 4$$

Nên $P =27-2(a^2b+b^2+c^2a+abc) \geq 27-2b(a+c)^2 \geq 27-8 =19$

Dấu bằng xảy ra tại $$a=b=c=1$$

Câu số

TH1: Không có 2 số nào trong $A,B$ là số chính phương -> ĐPCM

TH2:Chỉ có một số là số chính phương -> ĐPCM

TH3: Cả 2 số đều là số chính phương

Đặt $$c^2=b^2+2ab-a^2$$

$$ d^2=a^2+2ab-b^2$$

Dễ dàng lí luận được $a,b$ cùng chẵn

Đặt $a=2m \, ; b=2n$$(m , n \in N*$)

$\rightarrow c,d$ cũng chẵn

Đặt $c=2c_{1}; d=2 d_{1}$$(c_{1}; d_{1} \in N*)$

$$\rightarrow n^2+2mn -m^2 =c_{1}^2;  \,\,\,\, m^2+2mn -n^2 =d_{1}^2$$

Tương tự  như trên, ta lí luận được m, n cũng cùng chẵn

Nên ta có thể suy ra $a,b$ chia hết cho $2^k$ với mọi k

Sử dụng phép lùi vô hạn, ta được $(a,b)=(0,0) $(vô lí)

Nên không thể tồn tại cả 2 số đều là số chính phương ĐPCM