Ta có: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1=x^{2}+y^{2}+(x^{2} y^{2}+\frac{1}{9})+\frac{8}{9}\geq x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3}xy+\frac{8}{9}= (x+y)^{2}-\frac{4}{3}xy+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}(x+y)^{2}+\frac{8}{9}$
Áp dụng bđt B.C.S: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\geq (\frac{2}{3}(x+y)^{2}+\frac{8}{9})((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\geq \frac{8}{9}(x+y+z+t)^{2}$:
Ta cần chứng minh: $(z^{2}+1)(t^{2}+1)\geq \frac{2}{3}((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\Leftrightarrow 3(xy-\frac{1}{3})^{2}+(x-y)^{2}$
Vậy bđt được chứng minh
Cách khác của mình(thực ra cũng gần giống của bạn )
Đặt
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{\sqrt{3}} & & & & \\ y=\frac{b}{\sqrt{3}} & & & & \\ z=\frac{c}{\sqrt{3}} & & & & \\ t=\frac{y}{\sqrt{3}} & & & & \end{matrix}\right.$
Quy về chứng minh $A=(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3) \geq 16(a+b+c+d)^2$
Trong 4 số $ a^2-1 ,\, ; b^2-1,\,; c^2-1,\,; d^2-1$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu
KMTTQ, giả sử đó là $a^2-1; b^2-1$
$\rightarrow (a^2-1)(b^2-1)\geq 0 \Leftrightarrow a^2b^2+1\geq a^2+b^2$
$\Rightarrow A \geq 4(a^2+b^2+2)(c^2+3)(d^2+3) \geq 2((a+b)^2+4)(c^2+3)(d^2+3)$
$=2[(a+b)^2+4][(cd-1)^2+3c^2+3d^2+2cd+8]\geq 16[(a+b)^2+4][1+\frac{(c+d)^2}{4}] \geq 16(a+b+c+d)^2 (Q.E.D)$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=1$
$\Leftrightarrow x=y=z=t=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- Tea Coffee, HelpMeImDying, Leuleudoraemon và 1 người khác yêu thích