Bài 23: Cho (H) là đa giác đều có 14 đỉnh. Chứng minh với mỗi cách chọn ra 6 điểm từ 14 điểm trên, ta luôn tìm được 4 điểm tạo thành 1 hình thang cân.
Mình xin đưa ra lời giải bài này
Vẽ đường tròn ngoại tiếp $(H)$ . Các đỉnh của $(H)$ chia đường tròn ngoại tiếp của nó thành 14 cung bằng nhau là $a=\frac{\pi}{7}$. Vì đường tròn có tính chất đối xứng.Do vậy các dây nối 2 đỉnh của chúng lần lượt chắn các cung nhỏ có độ dài là $a,2a,3a,...,7a$. Nên độ dài các dây nhận 7 giá trị khác nhau
Từ 6 đỉnh, ta vẽ được 15 dây. 15 dây có dộ dài mang 7 giá trị nên tồn tại ít nhất 3 dây có cùng độ dài$
Ta sẽ chứng minh trong 3 dây đó luôn có thể chọn được 2 dây không có chung đầu mút.
Nếu có duy nhất 2 dây có chung đầu mút thì dây còn lại không có chung đầu mút với 1 trong 2 dây còn lại
Nếu đôi một 2 dây đều có chung đầu mút thì chúng lập thành 1 tam giác đều $\rightarrow$ số đỉnh của (H) luôn chia hết 3 (mâu thuẫn)
Tóm lại, ta luôn chọn được 2 dây có cùng độ dài và không chung đầu mút.4 đỉnh là đầu mút của 2 dây này luôn lập thành 1 hình thang cân
- nguyenbaohoang0208, conankun và iloveuabc1 thích