nguyenthaison

Dùng tính chất số nguyên tố dạng $4k+3$. 

Nếu $x$ chẵn thì $y$ cũng chẵn. Đặt $x=2m$ và $y=2n$ thì $8m^5-n^2=1 \Rightarrow n^2 \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy $x$ lẻ. Xét $x \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow y^2 \equiv 3 (mod 4)$ 

Xét $x \equiv 1 (mod 4)$ thì $y^2+36=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$, mâu thuẫn do $6$ không có ước như thế

không cần dài thế đâu bạn chỉ cần xét mod 11 là xong ngay

Cho phương trình $x^{5}-y^{2}=4$

Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm nguyên.

CMR tồn tại số nguyên a, b, c không đồng thời bằng 0 $|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}| <  \frac{1}{10^{6}}$

Tìm $Min A= x+y$

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} = 2016$ CMR:

$\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{y+x} \geq 504\sqrt{2}$

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn

như hình

1/ Cho các số nguyên x, y thỏa mãn (x-2Y)(1-2Y) là ước của x^2-4y+1. CMR: |x-2y| là số chính phương

2/ Cho số nguyên dương n, dọi d à ước dương của 3n² . CMR: n² + d là số chính phương <=> d = 3n²

3/ tìm các số tự nhiên x, y sao cho x⁴+4x+4 = $y^{2}$

1. $x+y-\sqrt{xy}=3$ và $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4$

2. $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ và $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}=4$

3. $x^{3}y^{3}+8=16y^{3}$ và $x(xy+2)=8y^{2}$

4. $x^{3}+2=3y$ và $y^{3}+2=3x$

5. $x^{3}(3y-2)=-8$ và $x(y^{3}+2)=-6$

Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn $p^{2}-pq-q^{3}=1$

$(5+2\sqrt{3})^{x}=(2+\sqrt{3})^{y}$

Có chút gợi ý từ người khác $(2+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt{3}$

PS: Thánh nào 9T0 làm được thì cmt giúp cái nhé )

Tìm tất cả Tìm các số x vô tỉ sao cho $x^{3}-6x$ và $x^{4}-8x^{2}$ đều là các số hữu tỉ

Bài này giống đề vào 10 năm nào đó của ĐHSPHN 

giả sử z=max{x,y,z}

Ta có: 

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}-\sqrt{y+2}=\sqrt{z+2}-\sqrt{z+1}+\sqrt{z+3}-\sqrt{z+2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}=\frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}}$

Lại có 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}} & & \\ \frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}} & & \end{matrix}\right.$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ 

Tương tự với x,y ta có đpcm

dạ đúng ạ

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

Cmr: x=y=z