khoaitokhonglochetdoi

Câu 2.2: 

Với $p=2\Rightarrow A= n^{4}+4n=k^{2} (k \in N)$ 

Xét $n\geq 0$ thì ta có $(n^{2})^{2}\leq {n^{4}+4n}<(n^{2}+1)^{2}$, dễ dàng tìm được  $n=0$ thỏa mãn.

Xét $n< -2$ thì ta có $(n^{2}-1)^{2}<A<n^{4}$, không tìm ra $n$ thỏa mãn.

Xét $n=-1$ thấy không thỏa mãn, $n=-2$ không thỏa mãn.

Với $p>2$, ta có $A=n^{4}+4n^{p+1}=k^{2} \Leftrightarrow n^{2}+4n^{p-1}=\frac{k^{2}}{n^{2}}= m^{2}(m \in N)\Leftrightarrow (m-n)(m+n)= 4n^{p-1}$, giả sử $n$ không chia hết cho $p$, khi đó theo định lý Fermat nhỏ ta có: $4n^{p-1}\equiv 4 ($mod $p)$, đến đây suy ra 

$(m-n)(m+n)\equiv 4($mod $p)$ ,đến đây xét ước, suy ra $n\vdots p$, nên loại :v

Vậy $n=0$ là nghiệm nguyên dương cần tìm.