Bài 2. Cho A={1,2,...,100} chứng minh tập con gồm 48 phần tủ của A luôn tồn tại 2 phần tủ có tổng chia hết cho 11
Thật vậy, chia tập A thành 11 nhóm.Trong đó nhóm n là nhóm gồm những số chia 11 dư n (n=0,1,2,3..,10)
Nhận thấy nhóm 1 gồm có 10 phần tử, các nhóm còn lại có 9 phần tử.Vậy để không có hai số nào có tổng chia hết cho 11 thì nếu số đầu thuộc nhóm m thì số thứ hai không được thuộc nhóm 11-m.Từ m là các số (2,9);(3,8);(4,7);(5;6) chỉ có thể chọn ra tối đa nhóm.
Tính ra ta cần phải lấy số phần tử nhiều nhất là: 10+9+9+9+9+1 = 47 phần tử.(1 phần tử nhóm 0, 10 phần tử nhóm 1)
Vậy ta lấy được nhiều nhất 47 phần tử sao cho không có hai phần tử nào có tổng chia hết 11
Từ đây suy ra bất kì tập con nào của A có 48 phần tử đều có thể chọn ra 2 số chia hết 11.
- monkeyking yêu thích