Do $a.b.c\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)(b-2)\geq 0\\ (b-2)(c-2)\geq 0 \\ (a-2)(c-2)\geq 0 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 4(a+b+c)-12$
Như vậy ta cần chứng minh
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+12\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4(a+b+c)$
Do $1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)(a+2)\leq 0\Leftrightarrow a^{3}+4\leq a^{2}+4a$
Tương tự ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra tại (2,2,2) và (1,2,2) và các hoán vị.
- Tea Coffee và DOTOANNANG thích