Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


minhducndc

Đăng ký: 11-06-2017
Offline Đăng nhập: 08-07-2018 - 20:50
****-

#711419 $$\sum\limits_{cyc} a\left ( a+ b \ri...

Gửi bởi minhducndc trong 22-06-2018 - 19:55

Do $a.b.c\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)(b-2)\geq 0\\ (b-2)(c-2)\geq 0 \\ (a-2)(c-2)\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 4(a+b+c)-12$

Như vậy ta cần chứng minh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+12\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4(a+b+c)$

Do $1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)(a+2)\leq 0\Leftrightarrow a^{3}+4\leq a^{2}+4a$

Tương tự ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra tại (2,2,2) và (1,2,2) và các hoán vị.




#709206 đề thi chuyên lương thế vinh

Gửi bởi minhducndc trong 24-05-2018 - 19:57

Đặt $(a;2b;3c)= (x;y;z)$

bdt$\Leftrightarrow \frac{xy}{3x+4y+2z}+\frac{yz}{3y+4z+2x}+\frac{zx}{3z+4x+2y}\leq \frac{x+y+z}{9}$

Đây là 1 trường hợp của bài tổng quát

$\frac{ab}{ma+nb+pc}+\frac{bc}{mb+nc+pa}+\frac{ca}{mc+na+pb}\leq \frac{a+b+c}{m+n+p}$ với $(m>\frac{p}{2}> 0 ,n> \frac{p}{2}> 0)$(trích toán học tuổi trẻ soos489 - mục đầu tiên luôn)

P/s: Đây là đề Thái Bình đúng không bạn ?




#709203 $ ax+by+cz+2\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)} \leq x+y+z...

Gửi bởi minhducndc trong 24-05-2018 - 17:17

Ta có

$(ax+by+cz)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow ax+by+cz\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Như vậy

$P\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)}+\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)}$

$\leq \sqrt{(a+b+c)^{2}}.\sqrt{(x+y+z)^{2}}= x+y+z$




#708952 tìm min P= 12a+13b+11c

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 19:04

Ta có $b\geq 5;c\geq 5\Rightarrow b^{2}+c^{2}\geq 25+25=50\Rightarrow 2a^{2}\leq 19\Rightarrow a< 4$

Tương tự với b,c bn nhé




#708947 tìm min P= 12a+13b+11c

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 18:38

Từ điều kiện ta có    $\left\{\begin{matrix} a\leq 4\\ b\leq 8 \\ c\leq 6 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta có

$\left\{\begin{matrix} (a-2)(2a-8)\leq 0\\ (b-5)(b-8)\leq 0 \\ (c-5)(c-6)\leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}+16\leq 12a\\ b^{2}+40\leq 13b \\ c^{2}+30\leq 11c \end{matrix}\right.$

Cộng lần lượt theo vế của các bđt ta có

$12a+13b+11c\geq 155$

Dấu "=" xảy ra khi $a=2,b=5,c=6$

P/s: Làm câu này nhớ hồi thi chuyên :D :lol:




#708946 tìm min và max P= $a+b+c$

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 18:28

Ta có

$2(b^{2}+bc+c^{2})= (b+c)^{2}+(b^{2}+c^{2})\geq \frac{3}{2}(b+c)^{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}(b+c)^{2}+3a^{2}\leq 9$

$\Leftrightarrow a^{2}+\frac{1}{2}(b+c)^{2}\leq 3$ (1)

Ap dụng Bunhia ta có

$(a^{2}+\frac{1}{2}(b+c)^{2})(1+2)\geq (a+b+c)^{2}$(2)

Từ (1) và (2)  $\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P_{max}=3\\ P_{min}=-3 \end{matrix}\right.$

Dấu $'= '$ xảy ra khi$\left\{\begin{matrix} a=b=c=1(max)\\ a=b=c=-1(min) \end{matrix}\right.$




#708701 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao AE BF CG cắt nhau tại...

Gửi bởi minhducndc trong 18-05-2018 - 18:51

Ta chứng minh được :

$\bigtriangleup BHE\sim \bigtriangleup ACE(g-g)$

$\Rightarrow BE.CE=EH.AE$ $(1)$

Khi AH=2 HE $\Leftrightarrow EH=\frac{1}{3}AE$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $BE.EC= \frac{1}{3}AE^{2}\Leftrightarrow \frac{AE}{BE}.\frac{AE}{CE}= tan B.tan C= 3$




#706932 $\left\{\begin{matrix} 3x^2=y(2-xy)\...

Gửi bởi minhducndc trong 25-04-2018 - 17:02

Nhân theo vế của 2 pt với nhau

xét xy=0

Xét xy khác 0 chia 2 vế xy




#704141 Tìm $Max$ của $P=\sum \frac{1}{2a^3+...

Gửi bởi minhducndc trong 23-03-2018 - 17:38

Ta có

$2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2= (a^{3}+b^{3}+abc)+(a^{3}+c^{3}+abc)\geq (ab(a+b)+abc)+(ac(a+c)+abc)= (a+b+c)(ab+ac)$

$\Rightarrow \frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}\leq \frac{1}{(a+b+c)(ab+ac)}\leq \frac{1}{a+b+c}.\frac{1}{4}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac})= \frac{b+c}{4(a+b+c)}$

Tương tự ta có $P\leq $\frac{1}{2}$$




#704139 $P=\frac{xy}{x^2+xy+yz}+\frac{yz}{y^2+yz+zx}+\frac{zx}{z^...

Gửi bởi minhducndc trong 23-03-2018 - 17:30

Một cách khác cho bài trên

$P=\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz}= \sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1}$

Đặt $(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})= (a^{3};b^{3};c^{3})$ với $abc=1$;(với $a;b;c> 0$

Khi đó ta có

$P= \sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}= \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}= 1$

(Vì $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (với $a;b> 0$)




#704053 $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}...

Gửi bởi minhducndc trong 21-03-2018 - 20:06

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$




#704052 $\displaystyle \frac{a}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{b}{{{(c-a)}^...

Gửi bởi minhducndc trong 21-03-2018 - 19:55

Đặt $(a;b;c)=(x+y;y+z;z+x)(x;y;z\geq 0)$

ta cần chứng minh

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{x+z}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Đã đc cm trong

https://diendantoanh...18/#entry703302




#701284 Chứng Minh BĐT

Gửi bởi minhducndc trong 06-02-2018 - 20:16

Đặt $2x=a$ có đk$\Leftrightarrow az+ay+yz=1$

CCần chứng minh $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

Có $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}= \frac{a}{\sqrt{(a+z)(a+y)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+z}+\frac{a}{a+y})(AM-GM)$....

CLàm tương tự và cộng theo vế ta có đpcm




#701283 $\left\{\begin{matrix} x^{3} -6x^{2}+13x=y^{3}+y+10 &...

Gửi bởi minhducndc trong 06-02-2018 - 20:12

$pt(1)\Leftrightarrow (x-2)^{3}+(x-2)= y^{3}+y$

$\Leftrightarrow x-2=y$

thế vào pt (2) có nghiệm x=3....




#701220 $\frac{x^2}{(x+1)^2}+\frac{y^2}...

Gửi bởi minhducndc trong 05-02-2018 - 17:15

Theo mình đoán thì đề bài 1 là

$\sum \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}\geq 1$

https://diendantoanh...frac1a2a1geq-1/ Bài 7 nhé!