Đến nội dung

minhducndc

minhducndc

Đăng ký: 11-06-2017
Offline Đăng nhập: 08-07-2018 - 20:50
****-

#711419 $$\sum\limits_{cyc} a\left ( a+ b \ri...

Gửi bởi minhducndc trong 22-06-2018 - 19:55

Do $a.b.c\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)(b-2)\geq 0\\ (b-2)(c-2)\geq 0 \\ (a-2)(c-2)\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 4(a+b+c)-12$

Như vậy ta cần chứng minh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+12\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4(a+b+c)$

Do $1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)(a+2)\leq 0\Leftrightarrow a^{3}+4\leq a^{2}+4a$

Tương tự ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra tại (2,2,2) và (1,2,2) và các hoán vị.




#709206 đề thi chuyên lương thế vinh

Gửi bởi minhducndc trong 24-05-2018 - 19:57

Đặt $(a;2b;3c)= (x;y;z)$

bdt$\Leftrightarrow \frac{xy}{3x+4y+2z}+\frac{yz}{3y+4z+2x}+\frac{zx}{3z+4x+2y}\leq \frac{x+y+z}{9}$

Đây là 1 trường hợp của bài tổng quát

$\frac{ab}{ma+nb+pc}+\frac{bc}{mb+nc+pa}+\frac{ca}{mc+na+pb}\leq \frac{a+b+c}{m+n+p}$ với $(m>\frac{p}{2}> 0 ,n> \frac{p}{2}> 0)$(trích toán học tuổi trẻ soos489 - mục đầu tiên luôn)

P/s: Đây là đề Thái Bình đúng không bạn ?




#709203 $ ax+by+cz+2\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)} \leq x+y+z...

Gửi bởi minhducndc trong 24-05-2018 - 17:17

Ta có

$(ax+by+cz)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow ax+by+cz\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Như vậy

$P\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)}+\sqrt{(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)}$

$\leq \sqrt{(a+b+c)^{2}}.\sqrt{(x+y+z)^{2}}= x+y+z$




#708952 tìm min P= 12a+13b+11c

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 19:04

Ta có $b\geq 5;c\geq 5\Rightarrow b^{2}+c^{2}\geq 25+25=50\Rightarrow 2a^{2}\leq 19\Rightarrow a< 4$

Tương tự với b,c bn nhé




#708947 tìm min P= 12a+13b+11c

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 18:38

Từ điều kiện ta có    $\left\{\begin{matrix} a\leq 4\\ b\leq 8 \\ c\leq 6 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta có

$\left\{\begin{matrix} (a-2)(2a-8)\leq 0\\ (b-5)(b-8)\leq 0 \\ (c-5)(c-6)\leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}+16\leq 12a\\ b^{2}+40\leq 13b \\ c^{2}+30\leq 11c \end{matrix}\right.$

Cộng lần lượt theo vế của các bđt ta có

$12a+13b+11c\geq 155$

Dấu "=" xảy ra khi $a=2,b=5,c=6$

P/s: Làm câu này nhớ hồi thi chuyên :D :lol:




#708946 tìm min và max P= $a+b+c$

Gửi bởi minhducndc trong 21-05-2018 - 18:28

Ta có

$2(b^{2}+bc+c^{2})= (b+c)^{2}+(b^{2}+c^{2})\geq \frac{3}{2}(b+c)^{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}(b+c)^{2}+3a^{2}\leq 9$

$\Leftrightarrow a^{2}+\frac{1}{2}(b+c)^{2}\leq 3$ (1)

Ap dụng Bunhia ta có

$(a^{2}+\frac{1}{2}(b+c)^{2})(1+2)\geq (a+b+c)^{2}$(2)

Từ (1) và (2)  $\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 9\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P_{max}=3\\ P_{min}=-3 \end{matrix}\right.$

Dấu $'= '$ xảy ra khi$\left\{\begin{matrix} a=b=c=1(max)\\ a=b=c=-1(min) \end{matrix}\right.$




#708701 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao AE BF CG cắt nhau tại...

Gửi bởi minhducndc trong 18-05-2018 - 18:51

Ta chứng minh được :

$\bigtriangleup BHE\sim \bigtriangleup ACE(g-g)$

$\Rightarrow BE.CE=EH.AE$ $(1)$

Khi AH=2 HE $\Leftrightarrow EH=\frac{1}{3}AE$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $BE.EC= \frac{1}{3}AE^{2}\Leftrightarrow \frac{AE}{BE}.\frac{AE}{CE}= tan B.tan C= 3$




#706932 $\left\{\begin{matrix} 3x^2=y(2-xy)\...

Gửi bởi minhducndc trong 25-04-2018 - 17:02

Nhân theo vế của 2 pt với nhau

xét xy=0

Xét xy khác 0 chia 2 vế xy




#704141 Tìm $Max$ của $P=\sum \frac{1}{2a^3+...

Gửi bởi minhducndc trong 23-03-2018 - 17:38

Ta có

$2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2= (a^{3}+b^{3}+abc)+(a^{3}+c^{3}+abc)\geq (ab(a+b)+abc)+(ac(a+c)+abc)= (a+b+c)(ab+ac)$

$\Rightarrow \frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}\leq \frac{1}{(a+b+c)(ab+ac)}\leq \frac{1}{a+b+c}.\frac{1}{4}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac})= \frac{b+c}{4(a+b+c)}$

Tương tự ta có $P\leq $\frac{1}{2}$$




#704139 $P=\frac{xy}{x^2+xy+yz}+\frac{yz}{y^2+yz+zx}+\frac{zx}{z^...

Gửi bởi minhducndc trong 23-03-2018 - 17:30

Một cách khác cho bài trên

$P=\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz}= \sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1}$

Đặt $(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})= (a^{3};b^{3};c^{3})$ với $abc=1$;(với $a;b;c> 0$

Khi đó ta có

$P= \sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}= \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}= 1$

(Vì $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (với $a;b> 0$)




#704053 $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}...

Gửi bởi minhducndc trong 21-03-2018 - 20:06

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$




#704052 $\displaystyle \frac{a}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{b}{{{(c-a)}^...

Gửi bởi minhducndc trong 21-03-2018 - 19:55

Đặt $(a;b;c)=(x+y;y+z;z+x)(x;y;z\geq 0)$

ta cần chứng minh

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{x+z}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Đã đc cm trong

https://diendantoanh...18/#entry703302




#701284 Chứng Minh BĐT

Gửi bởi minhducndc trong 06-02-2018 - 20:16

Đặt $2x=a$ có đk$\Leftrightarrow az+ay+yz=1$

CCần chứng minh $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

Có $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}= \frac{a}{\sqrt{(a+z)(a+y)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+z}+\frac{a}{a+y})(AM-GM)$....

CLàm tương tự và cộng theo vế ta có đpcm




#701283 $\left\{\begin{matrix} x^{3} -6x^{2}+13x=y^{3}+y+10 &...

Gửi bởi minhducndc trong 06-02-2018 - 20:12

$pt(1)\Leftrightarrow (x-2)^{3}+(x-2)= y^{3}+y$

$\Leftrightarrow x-2=y$

thế vào pt (2) có nghiệm x=3....




#701220 $\frac{x^2}{(x+1)^2}+\frac{y^2}...

Gửi bởi minhducndc trong 05-02-2018 - 17:15

Theo mình đoán thì đề bài 1 là

$\sum \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}\geq 1$

https://diendantoanh...frac1a2a1geq-1/ Bài 7 nhé!