minhducndc

Hình như chỗ$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2 }}-\frac{c}{a+b}\geq \frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+c^{2})(a+c)}$

có vấn đề vì m thấy(a²+b²)(a+b)>=(a²+c²)(a+c)(vi  b>=c)thì bđt ngược dấu à

bài này trong đề thi chuyên toán tp hà nội 2014-2015

đặt$\sqrt[3]{a^{2}}=x;\sqrt[3]{b^{2}}=y;\sqrt[3]{c^{2}}=z \Rightarrow a^{2}=x^{3};b^{2}=y^{3};c^{2}=z^{3}$

ta đc bđt x³+y³+z³+3xyz$\geq 2(\sqrt{x^{3}y^{3}}+\sqrt{y^{3}z^{3}}+\sqrt{z^{3}x^{3}})$

x;y;z có vai trò như nhau ta giả sử x$\geq y\geq z\geq 0$

khi đó x(x-y)²+z(y-z)²+(z+x-y)(x-y)(y-z)$\geq 0$

suy ra x³+y³+z³+3xyz$\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(1)

áp dụng AM-GM ta có xy(x+y)$\geq 2xy\sqrt{xy}=2\sqrt{x^{3}y^{3}}$

tương tự ta có $\sum xy(x+y)\geq 2(\sum \sqrt{x^{3}y^{3}})$(6)

suy r ĐPCM

bạn dùng AM-GM $y+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}}$

tương tự nhân hết các bđt với nhau thì sẽ >=8

 

$5(a + b + c) + \frac{3}{{abc}} = 5\sum {a + \sum {\frac{a}{{bc}} \ge \sum {5a + \sum {\frac{{2a}}{{{b^2} + {c^2}}} = \sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}} } } } }$

$GS:\sum {5a}  + \sum {\frac{{2a}}{{3 - {a^2}}}}  \ge \sum {\left( {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}} \right)}$

 $\Leftrightarrow \sum {\frac{{{{(a - 1)}^2}(7{a^2} - 4a + 15)}}{{2({a^2} - 3)}}}  \ge 0\\$

$ \to P \ge \sum {\frac{7}{2}{a^2} + \frac{5}{2}.3}  = \frac{{7.3}}{2} + \frac{{15}}{2} = 18$

 

7a²-4a+15>0;a²-3<0 $\Rightarrow \frac{(a-1)^{2}(7a^{2}-4a+15)}{2(a^{2}-3)}\leq 0$

$3=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=>\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$P\geq 15\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{abc}$

Đặt $x=\sqrt[3]{abc}, 0\leq x\leq 1=>0\leq x^3\leq 1$

$P\geq 15x+\frac{3}{x^3}=3(5x+\frac{1}{x^3}=3(\frac{5}{3}x+ \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}x+\frac{5}{3x^3}-\frac{2}{3x^3})\geq 3(\frac{20}{3}-\frac{2}{3})=18$

Dấu = xảy ra $<=> a=b=c=1$

P/S: Giải thế dc ko nhỉ???

$3=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=>\sqrt[3]{abc}\leq 1$

$P\geq 15\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{abc}$

Đặt $x=\sqrt[3]{abc}, 0\leq x\leq 1=>0\leq x^3\leq 1$

$P\geq 15x+\frac{3}{x^3}=3(5x+\frac{1}{x^3}=3(\frac{5}{3}x+ \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}x+\frac{5}{3x^3}-\frac{2}{3x^3})\geq 3(\frac{20}{3}-\frac{2}{3})=18$

Dấu = xảy ra $<=> a=b=c=1$

P/S: Giải thế dc ko nhỉ???

mình thấy x³$\leq 1\Rightarrow \frac{-2}{x^{3}}\leq -2$ bị ngược dấu mà bạn

T a cm đc $\widehat{CDM}= \widehat{CAB}= \widehat{IDM} \Rightarrow \widehat{IDC}=2\widehat{BDC}=\widehat{BOC} \Rightarrow \widehat{IDC}= \widehat{BOC}\Rightarrow$ tứ giác DIOC nội tiếp$\Rightarrow KD.KC=KI.KO$

Từ K vẽ tiếp tuyến với (O) tại P' (P' nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB với P)

Bạn dễ dang chứng minh được $KP'^{2}=KD.KC=KI.KO$$\Rightarrow \bigtriangleup KP'I\sim \bigtriangleup KOP'\Rightarrow \widehat{KIP'}= \widehat{KP'O} \Rightarrow P'$ laf giao điểm của đường tròn O với  đường vuông góc với KO tại I suy ra P' trùng với P(DPCM)

Bạn chuyển vế pt 1 sang ta đc  y²-2y+1=x$\Rightarrow (y-1)^{2}=x\Rightarrow (y-1)^{4}= x^{2}$

Tương tự ở pt 2 ta có x²=y+y³

ta đc (y-1)⁴=y+y³

^{pt bậc 4 này mình đoán có no đệp}

^{đây là pt đối xứng bậc 4 nhé}

Mình làm thế này ko biết có đúng ko vì chỗ kia mình ép max

ko mất tính tổng quát ta giả sử 1$\geq$a$\geq b\geq c\geq d\geq e\geq -1$

Ta có a²$\leq 1$;e²$\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi a=1;b=-1(vì a là số max.e là số min)

Khi đó b+c+d=0

ta có P=bc+cd+bd=bc+d(b+c)

mà(b-1)(c-1)$\geq 0$$\Leftrightarrow bc+1\geq b+c=-d$$\Leftrightarrow bc\geq -d-1$

Ta có P$\geq -d-1+d(b+c)=-d-d^{2}-1$

mà b+c+d=0;b$\geq c\geq d\Rightarrow -1\leq d\leq 0$$d(d+1)\leq 0$$\Rightarrow P=-d-d^{2}-1\geq -1$

Suy ra P$\leq -1$ mà b+c+d=0$\Rightarrow b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 2$

Suy ra$\sum$a²$\leq 4$

dấu bằng xảy ra khi a=1;b=1;c=0;d=-1;e=-1

Đặt b-a=k(k>0)ta được bdt$\Leftrightarrow a^{3}-12a\leq (a+k)^{3}-12(a+k)+32\Leftrightarrow 3a^{2}k+3ak^{2}+k^{3}-12k+32\geq 0\Leftrightarrow 3k(a^{2}+ak+\frac{k^{2}}{4})-\frac{3k^{3}}{4}+k^{3}-12k+32\geq 0\Leftrightarrow 3k(a+\frac{k}{2})^{2}+\frac{k^{3}}{4}-12k+32\geq 0$

Ta có $\frac{k^{3}}{4}-12k+32=\frac{1}{4}(k^{3}-48k+128)=\frac{1}{4}(k-4)^{2}(k+8)\geq 0$

Có $3k(a+\frac{k}{2})^{2}\geq 0$(vì k>0)

suy ra điều phải cm

dấu bằng xảy ra khi b=2;a=-2

Kẻ OM vuông góc với BC tại M nên M là trung điểm của BC

 theo hệ thức Ơ- le ta có AH=2OM

Ta có tanB. tanC =3$\Rightarrow \frac{AE}{BE}.\frac{AE}{CE}=3 \Rightarrow AE^{2}= 3BE.CE$(1)

Ta có$\widehat{BHE}=\widehat{ACB};\widehat{CHE}=\widehat{ABC}$

$tanB.tanC=3\Rightarrow \frac{BE}{EH}.\frac{CE}{EH}=3 \Leftrightarrow BE.CE=3EH^{2}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AE=3EH\Rightarrow EH=\frac{1}{2}AH=OM$

$\Rightarrow \lozenge$ HOEM là hình chữ nhật (Vì là hình bình hành có 1 góc vuông)

$\Rightarrow$ OH song song với BC

Kẻ ON vuông góc với BC tại N

Bạn cm được ON$= \frac{1}{2}AH$

(VÌ  đây là hệ thức Ơ le quen thuộc tra mạng có)

Bạn có thể làm như sau kéo dài AO cắt (0) tại F rồi cm BHCF là hình bình hành(có 2 cặp cạnh song song) rồi CM HNFthẳng hàng suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHF suy ra dpcm

Gọi K,J,K' là hình chiếu của B;A,E lên AC; BC,BC

$\Rightarrow EK'=\frac{1}{2}AH=MK$(vìEK'=ON)

Có $\frac{BK}{BC}=sin C$

Có$\frac{MK}{EC}= \frac{EK'}{EC}= sinC$

$\Rightarrow \frac{MK}{BK}= \frac{EC}{BC}= sin C$

CM được $\widehat{MKB}=\widehat{ECB}$

$\Rightarrow \bigtriangleup MKB\sim \bigtriangleup ECB(C.G.C)$

$\Rightarrow \widehat{BMK}= \widehat{BEC} \Rightarrow \widehat{BMK}+\widehat{BEK}=180$

$\Rightarrow \lozenge BMJE$ laf tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BME}= \widehat{BKE}= 90$

Lấy E đối xứng với I qua BC$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{IBE}=2\widehat{IBC}$;$\bigtriangleup IBE$ cân

dễ dàng cm được $DI= DB= DC$ (Vì$\bigtriangleup DIB$$\bigtriangleup DIC$ cân tại D)(bạn dùng cm 2 góc đáy bằng nhau nhé)

$\Rightarrow \bigtriangleup IBE\sim \bigtriangleup IDC$\                                                                      Rightarrow \frac{IB}{ID}= \frac{IE}{IC}= \frac{BE}{DC}$ (c.g.c)$

$\Rightarrow IB.IC= IE.ID= 2r.ID$

chia $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}+4= & 2y^{2} & \\ (y-x)(xy+2)= & x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

chia 2 vế của pt 1 cho $x^{2}y^{2}$ ta được pt $\inline 1+\frac{4}{x^{2}y^{2}}= \frac{2}{x^{2}}$

chia 2 vế của pt 2 cho $x^{2}y^{2}$ ta được pt $(1+\frac{2}{xy})(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})= 1$

đặt $\frac{1}{x}= a;\frac{1}{y}= b$ ta được hệ sau$\left\{\begin{matrix} (1+2ab)(a-b)= &1 \\ 1+4a^{2}b^{2}= &2a^{2} \end{matrix}\right.$

từ pt 2 sau khi đặt ta rút được$b^{2}= \frac{2a^{2}-1}{4a^{2}}$

thu gọn pt 1ta được $a-b+2a^{2}b-2ab^{2}=1$

thế $b^{2}$ ta được$(2a^{2}-1)b+\frac{1}{2a}-1= 0$

chuyển sang bình phương đẻ thế $b^{2}$ theo a rồi giải pt bậc 4

mình chưa giải hết nhưng đoán sẽ giải được

có x+y=1$\Leftrightarrow (x+y)^{3}=1 \Rightarrow \frac{1}{x^{3}+y^{3}}=\frac{(x+y)^{3}}{x^{3}+y^{3}}=1+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}$(vì x+y=1)

ta có$\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^{3}}{xy}=3+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}$(vì xy=1)

áp sụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}\geq 2\sqrt{\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}.\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow$Pmin=$2\sqrt{3}+4$

lớp 9 chưa học bất đẳng thức Holder có cách nào giải khác phù hợp ko