Caspper

Mọi người cho e hỏi bài này ạ )

Tìm điều kiện của $n\in\mathbb{Z}_{+}$ để: $a^n+b^n+c^n\;\vdots\;(a+b+c)\;\forall\;a,b,c\in\mathbb{Z}_{+}$

Mọi người cho e hỏi bài này ạ

Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x+y+z+t=2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

giải pt bằng lượng giác hóa 

$(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$

Mình có cách giải đầy đủ nè:

ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $x=cost$ với $t\in\begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$. Khi đó $\frac{t}{2}\in\begin{bmatrix} 0;\frac{\pi}{2} \end{bmatrix}$

Từ đó suy ra $cos\frac{t}{2}>0$ và $sin\frac{t}{2}>0$ nên: $\sqrt{1+x}=\sqrt{2}cos\frac{t}{2}$ và $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}sin\frac{t}{2}$

Từ đó phương trình trở thành: $(\sqrt{2}cos\frac{t}{2}-1)(\sqrt{2}sin\frac{t}{2}+1)=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow sint-1=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow 2sin\frac{t}{2}cos\frac{t}{2}-(sin^{2}\frac{t}{2}+cos^{2}\frac{t}{2})=2(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow 2cos\frac{t}{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})+(cos^{2}\frac{t}{2}-sin^{2}\frac{t}{2})-\sqrt{2}(cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})=0$

$\Leftrightarrow (cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2})(3cos\frac{t}{2}+sin\frac{t}{2}-\sqrt{2})=0$

Nếu $cos\frac{t}{2}-sin\frac{t}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=cost=cos\frac{\pi}{2}=0$

Nếu $3cos\frac{t}{2}+sin\frac{t}{2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow cos\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ (vì $cos\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ đã có ở trên)

        Từ đó $x=cost=2cos^{2}\frac{t}{2}-1=2.\frac{1}{50}-1=-\frac{24}{25}$.