1ChampRivenn

Cho $x,y,z>0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(y+z)}+\frac{1}{z(z+x)}\geq \frac{27}{2(x+y+z)^{2}}$

Ta có : $(x+y)(y+z)(z+x)\leq \frac{(x+y+y+z+z+x)^3}{27}= \frac{8(x+y+z)^3}{27}$ 

$xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}$

$VT\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz(x+y)(y+z)(z+x)}}\geq VP$

( Áp dụng 2 bđt ở trên )

Ta có $(2+\sqrt{3})^y=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (2-\sqrt{3})^y=a-b\sqrt{3}$. Mà $(2+\sqrt{3})^y(2-\sqrt{3})^y=1 \Rightarrow (a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=1$

 

Mặt khác $$(5+2\sqrt{3})^{x}=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (5-2\sqrt{3})^{x} = a-b\sqrt{3} \\ \Rightarrow (5+2\sqrt{3})^{x} (5-2\sqrt{3})^{x}=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) \\ \Rightarrow 13^x=1 \Rightarrow x=y=0$$

Sao lại suy ra được điều này thế bạn

.

Cho p nguyên tố >2 Tìm số dư khi chia $2^{2^{p}}$ cho $2^{p}-1$

Theo Fecma $2^p\equiv2(mod p)$ nên đặt $2^p=pk+2$.

$\Rightarrow 2^{2^p}=2^{kp+2}=4(2^{kp}-1)+4$

Mà $2^{kp}-1$ chia hết cho $2^{p}-1$ do đó số dư là $4$

1.Cmr trong dãy $2^{n}-1$,n=1,2,... luôn tìm đc n số hạng liên tiếp nhau sao cho tất cả đều là hợp số

2.Cmr có vô số số nguyên tố có dạng $2pn\dotplus 1$ với p là số nguyên tố lẻ cho trước

3.Cmr nếu p là ước nguyên tố lẻ của $a^{p}\dotplus 1$ thì p là ước của $a \dotplus 1$ hoặc có dạng $2pn\dotplus 1$

bài 3 có vẻ như là mở rộng của bài 4 ở đây https://diendantoanh...i-tập-số-học/$