CatKhanhNguyen

Ta có:

$P=\frac{4}{2x+y+2\sqrt{2yz}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+\frac{3}{2}y} \geq \frac{4}{2x+y+2z+y}+\frac{1}{2}\sqrt{\left (\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+\frac{1}{2}y \right )+y}\geq \frac{2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{\frac{x^{2}+z^{2}}{2}}+y}\geq \frac{2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\sqrt{x+y+z}$

Đặt $t=x+y+z$. Ta tìm cực trị hàm số:

$f(x)=\frac{2}{t}+\frac{1}{2}\sqrt{t},t> 0$

$f'(t)=-\frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{t}}=0\Leftrightarrow t=3$

Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy $f(t)\geq f(3)=\frac{4+3\sqrt{3}}{6}$ với mọi $t> 0$

Vậy $P\geq \frac{4+3\sqrt{3}}{6}.$ Dấu "=" xảy ra khi: $(x,y,z)=(\frac{3}{4},\frac{3}{2},\frac{3}{4})$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sum \sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}$

Ta có:

$\sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}= \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{(1+1+2)(a+b+2c)}}$ $\leq \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right )$

Tương tự suy ra: 

$\sum \sqrt{\frac{ab}{a+b+2c}}\leq \frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=\frac{3}{2}$

Cho a;b;c là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow a+b-2c\geq a+c-2b\geq b+c-2a$

và: $5a+5b+2c\geq 5a+5c+2b\geq 5b+5c+2a$

Áp dụng BĐT Chevbyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều, ta có:

$\sum \frac{a+b-2c}{(5a+5b+2c)^3}\leq \sum (a+b-2c)\sum \frac{1}{(5a+5b+2c)^{2}}=0$ (đpcm)

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3-x^2y+xy^2-2xy-x+y=0\\ \sqrt{x-y}=x^3-2x^2+y+2\\ \end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ nhất ta có:

$x^3-y^3-x^2y+xy^2-2xy-x+y=0$

$\Leftrightarrow x^3-y^3-x^2y+xy^2+(x-y)^{2}-(x^{2}+y^{2})-x+y=0$

$\Leftrightarrow \left [(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-xy(x-y) \right ]-(x^{2}+y^{2})+\left [ (x-y)^{2}-(x-y) \right ]=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x-y-1)=0$

Nếu x=y, thay vào phương trình thứ hai ta có:

$x^{3}-2x^{2}+x+2=0$ (1) 

Đặt $x=t+\frac{2}{3}$, thay vào (1) và rút gọn ta được:

$t^{3}-\frac{t}{3}+2=0$ (1')

Đặt $t=u-v$, với $uv=-\frac{1}{9}$, thay vào (1'):

$u^{3}-v^{3}+2=0$

hay: $9^{3}v^{6}-2.9^{3}v^{3}+1=0$

Rồi giải phương trình trên tìm v,u,t,x.

Nếu y=x-1, thay vào phương trình thứ hai ta được:

$x^{3}-2x^{2}+x=0 \Leftrightarrow x(x-1)^{2}=0$

Ta CM: 

$\frac{a}{(1+a)^{2}}\leq \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \frac{(a-1)^{2}}{4(a+1)^{2}}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Tương tự suy ra: 

$\frac{a}{(1+a)^{2}}+\frac{b}{(1+b)^{2}}+\frac{c}{(1+c)^{2}}\leq \frac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1