Olympusreacher

Tìm $a,b$ là số tự nhiên sao cho $a^2b+a+b \vdots ab^2+b+7$

Mình xin đóng góp 1 bài (Sputnik hình học):

Cho tia $Ax$ và một điểm $E$ khác điểm $A$, $E \epsilon Ax$. Từ $E$ vẽ tia $Ay$. Hai điểm $C,D$ phân biệt, khác điểm $E$, cho trước trên tia $Ey$. Một điểm $B$ chạy trên tia $Ax$. Các đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau ở $M$, $AD$ và $BC$ cắt nhau ở $N$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn cắt tia $Ey$ tại một điểm $F$ cố định.

b) Hãy xác định một vị trí của điểm $B$ trên tia $Ex$ sao cho các tam giác $MCD$ và $NCD$ tương ứng có diện tích bằng nhau.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-2)!$ không chia hết cho $n^2$

Với mọi $n>0$, chứng minh rằng nếu $2^n+1$ là số nguyên tố thì $n$ có dạng là $2^m$. Có nghĩa là nếu $2^n+1$ là số nguyên tố thì nó phải có dạng là $2^{2^m}+1$

Cho $\widehat{xOy}$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên các tia $Ox$ và $Oy$, Vẽ đường tròn $(I;OK)$ cắt tia $Ox$ tại $M$ ($I$ nằm giữa $O$ và $M$). Vẽ đường tròn $(K;OI)$ cắt tia $Oy$ tại $N$($K$ nằm giữa $O$ và $N$)

Chứng minh hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.

Trong một tam giác đều có cạnh bằng $1$ chứa $5$ điểm bất kì. Cmr có thể tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

4. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB <CD), O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh rằng OA = OB, OC =OD

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. CMR: I, M, O, N thẳng hàng

a)Dễ thấy $\Delta IAB$ cân tại $I$.

$\rightarrow AI=BI$

Từ đó chứng minh được $\Delta IDB=\Delta ICA$ 

$\rightarrow \widehat{IDB}=\widehat{ICA}$ ($*$)

Tiếp tục, ta chứng minh được $\Delta ADC=\Delta BCD$ rồi suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{DBC}($**$)

Từ ($*$),($**$), $AD=BC$ suy ra $\Delta OAD=\Delta OBC$

Từ đó ta có điều phải chứng minh

b) Từ giả thiết đề cho và giả thiết chứng minh được ở câu a ta dễ dàng chứng minh được $I,M,O$ cách đều $A$ và $D$ nên đường thẳng chứa 3 điểm đó là đường trung trực của $AD$

$\rightarrow I,M,O$ thẳng hàng

Tương tự chứng minh được $ON$ là đường trung trực $CD$

Ta có $ON$, $OI$ cùng vuông góc với  $AD$( do $AD\parallel CD$)

Điều này dẫn đến 4 điểm này thẳng hàng.

Một chiếc bánh hình tròn có khối lượng là $1kg$ được chia bởi $3$ đường thẳng, $2$ trong số này đi qua tâm còn đường thẳng còn lại không đi qua tâm. Chứng minh rằng tìm được phần có khối lượng từ $\frac{1}{6}kg$ trở lên.

Có $8$ đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt. Chứng minh rằng có thể chọn được $4$ đội $A,B,C,D$ sao cho $A$ thắng $B$, $B$ thắng $C$, $C$ thắng $D$.

Qua một điểm $Q$ nằm trong $\Delta ABC$ ta lần lượt kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của $\Delta ABC$. Các đường thẳng này chia $\Delta ABC$ thành $6$ phần trong đó có $3$ phần là $3$ tam giác với diện tích $S_1,S_2,S_3$. Chứng minh rằng $S_{ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2$ 

Cho $\Delta ABC$, trung tuyến $AD$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Một cát tuyến quay quanh $G$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$

I have a friend at school and he has a special passion with Mathematics, and he is very hard-working, too. As I have seen, Math is nearly an essential part of his life. He solves problem to entertain and find fun. In his free time, he never plays games, watch TV, read non-fiction books,... He just spends time on studying Mathematics. His increadible enthusiasm brought home to me and gave me powerful motivation. Then I started to pay more attention in studying Math, I spent more time reading reference books about Math and solving problems. Half a year has gone by since I started. Now, I'm not only very grateful to him but I also amire him because of his wide knowledge about Math. That's my story, Thank you very much for having read!