blackwave

Chứng minh x^2 + 1/x +1 = 0 không có nghiệm hữu tỉ.

Dùng định lý sau : 

" Nếu đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên mà có nghiệm hữu tỉ có dạng $\frac{m}{n}$ thì $a_{0}$ chia hết cho m, $a_{n}$ chia hết cho n "

Từ định lý trên giả sử pt có nghiệm hữu tỉ thì chỉ có thể là $1$ hoặc $-1$ 

Thay vào lại thấy vô lý 

Giải phương trình sau :

 

$\left\{\begin{matrix} xy= x+y-z \\ xz=2(x-y+z)\\ yz=3(y-x+z) \end{matrix}\right.$

Đặt mỗi phương trình từ trên xuống dưới là $(1),(2),(3)$

Lấy $3.(1)+(3)$ ta được : $3xy+yz=6y\rightarrow y(3x+z-6)=0$

Tới đây có $2$ trường hợp : 

TH1: y=0 thì thay $y=0$ vào hệ ta được hệ mới $\left\{\begin{matrix} x-z=0\\ xz=2(x+z)\\ x=z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} x=z\\ x^{2}=4x \end{matrix}\right.\rightarrow x=z=0,4$

TH2: $3x+z-6=0$ Sau đó thay $z=6-3x$ vào (2) ta được $y$ theo $x$ sau đó rút $y,z$ theo $x$ thay vào $(1)$ là xong !

 

Cho $P_1P_2..P_n$ là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $1$ . Tính : 
$T=P_1P_2..P_1P_3...P_1P_n$

 

Ta gắn đa giác nội tiếp đường tròn bán kính 1 vào trong hệ tọa độ $Oxy$ 

Theo đó ta có được tọa độ của $P_{k}$ là $(cos(\frac{2\pi.k}{n}),sin(\frac{2\pi.k}{n}))$

Ta tính được $P_{k}P_{1}=\sqrt{(cos(\frac{2k\pi}{n})-cos(\frac{2\pi}{n}))^{2}+(sin(\frac{2k\pi}{n})-sin(\frac{2\pi}{n}))^{2}}=2sin(\frac{(k-1)\pi}{n})$

Tiếp  theo ta cần tính $P=\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n})$

Dễ dàng tính được $P=\frac{n}{2^{n-1}}$

Kết hợp lại ta được $T=n$ 

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn:

$ P(x).P(x+1)=P(x^{2}) $

Giả sử $P(x)$ có nghiệm thực . Nếu tồn tại $a\in R$ sao cho $P(a)=0$ thì 

Thay $x=a$ ta được $P(a^{2})=0$ , tương tự thế ta được $P(a^{2^{k}})=0$ với $k\geq 0$ .

Do $a\in R$ và theo tính chất hữu hạn nghiệm của đa thức ta suy ra $P(x)=x^{k}(x-1)^{m}G(x)$

trong đó thỏa : $\left\{\begin{matrix} k,m\geq 0,\in Z\\ k+m\geq 1\\ G(x)>0 \forall x\in R \end{matrix}\right.$

Thay ngược lại vào phương trình ta suy được $k=m$

Tiếp theo chỉ cần giải phương trình trên với $P(x)>0\forall x\in R$

Giả sử $b$ là số phức thỏa $P(b)=0$

tương tự ta được $P(b^{2^{k}})=0$

Tiếp theo thay$x=b-1$ ta cũng được $P((b-1)^{2^{k}})=0$ 

do đó ta được $\left\{\begin{matrix} \left | b \right |=1\\ \left | b-1 \right |=1 \end{matrix}\right.$

Nên suy ra vô lý . 

Vậy $P(x)=(x(x-1))^{k}$ và $P(x)=0$ trong đó $k\geq 0$

Kích hoạt lại !  

Bài 12: Cho đa thức $P(x)$ có $deg=n$($n\geq 2$) , đặt $Q(x)=\underbrace{P(P(P(P.....P(x))))}_{k}$

CMR : đa thức $T(x)=Q(x)-x$ có nhiều nhất $n$ nghiệm thực .