Thai Hanh

 

1)a)

Phía nửa mặt phẳng bờ AB không chứa M lấy điểm N sao cho AMN là tam giác đều

Ta có $\widehat{CAB} =\widehat{MAN}$

<=>$\widehat{CAM} +\widehat{MAB} =\widehat{MAB} +\widehat{BAN}$

<=>$\widehat{CAM} =\widehat{BAN}$ (1)

mà CA =BA và AM =AN (2)

từ (1, 2) =>$\triangle CAM =\triangle BAN$ (c, g, c) (3)

(3) =>CM =BN

ta có $MA^2 =MB^2 +MC^2$

<=>$MN^2 =MB^2 +BN^2$

=>t giác MBN vuông tại B

(3) =>$\widehat{ACM} =\widehat{ABN}$

$\widehat{MBN} =\widehat{ABM} +\widehat{ABN} =90^\circ$

<=>$\widehat{ABM} +\widehat{ACM} =90^\circ$

<=>$(60^\circ -\widehat{MBC}) +(60^\circ -\widehat{MCB}) =90^\circ$

<=>$\widehat{MBC} +\widehat{MCB} =30^\circ$

<=>$\widehat{BMC} =180^\circ -30^\circ =150^\circ$

b)

$S_{ABC} =S_{ABM} +S_{ACM} +S_{BCM}$

$=S_{ABM} +S_{ABN} +S_{BCM}$

$=S_{AMBN} +S_{BCM} =S_{AMN} +S_{BMN} +S_{BCM}$ (4)

hạ AE vuông góc MN tại E, hạ CD vuông góc BM tại D

có AMN đều => $AE =AM .\frac{\sqrt{3}}{2}$

=>$S_{AMN} =\frac{1}{2} .AE .MN =\frac{\sqrt{3}}{4} .AM^2 =\frac{\sqrt{3}}{4} (BM^2 +CM^2)$ (5)

$S_{BMN} =\frac{1}{2} .BM .BN =\frac{1}{2} .BM .CM$ (6)

có $\widehat{CMD} =180^\circ -\widehat{BMC} =30^\circ$

mà $\widehat{CDM} =90^\circ$ =>CD =$\frac{1}{2} .MC$

=>$S_{BMC} =\frac{1}{2} .BM .CD =\frac{1}{4} .BM .CM$ (7)

thế (5 ,6, 7) vào (4) được

$S_{ABC} =\frac{\sqrt{3}}{4} .(BM^2 +CM^2) +\frac{3}{4} .BM .CM$

 

ad ơi
AD có thể CM theo phép biến hình k ạ