Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


vinamilkvietnam

Đăng ký: 29-06-2017
Offline Đăng nhập: 14-05-2019 - 21:30
-----

#703899 cmr với ba số tự nhiên a,b,c

Gửi bởi vinamilkvietnam trong 19-03-2018 - 01:31

Đặt $a+b-c=x,b+c-z=y,c+a-b=z$ 

=>$x+y+z=a+b-c+b+a-c+c+a-b=a+b+c$

Biểu thức đề bài trở thành

$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ 

Đặt A=$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ 

$x+y=a+b-c+b+c-a=2b$

$y+z=b+c-a+c+a-b=2c$

$z+x=c+a-b+a+b-c=2a$

A=3.2a.2b.2c=$3.2^3abc$

Do a,b,c có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn => $ab\vdots 2^2$ 

=> A chia hết cho 96




#703898 Chứng minh: $a^4+b^3+c^2\leq 2$

Gửi bởi vinamilkvietnam trong 19-03-2018 - 01:20

Theo bài $a,b,c \epsilon [-1;1]$ => $-1\leq a,b,c \leq 1$

=> $a -1 \geq 0, b-1\geq 0, c-1\geq 0 \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$

$1-a\geq 0, 1-b\geq 0, 1-c\geq 0 \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

=> $(a-1)(b-1)(c-1)+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1+1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\geq 0$

$\Leftrightarrow 2+2(ab+bc+ca)\geq 0$ (*)

Theo bài: $a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)$

Thay vào (*) ta được $2-(a^2+b^2+c^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2$

Do $-1\leq a,b,c\leq 1 \Rightarrow a^4\leq a^2,b^3\leq b^2$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị