Đến nội dung

vinamilkvietnam

vinamilkvietnam

Đăng ký: 29-06-2017
Offline Đăng nhập: 14-05-2019 - 21:30
-----

#703899 cmr với ba số tự nhiên a,b,c

Gửi bởi vinamilkvietnam trong 19-03-2018 - 01:31

Đặt $a+b-c=x,b+c-z=y,c+a-b=z$ 

=>$x+y+z=a+b-c+b+a-c+c+a-b=a+b+c$

Biểu thức đề bài trở thành

$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ 

Đặt A=$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ 

$x+y=a+b-c+b+c-a=2b$

$y+z=b+c-a+c+a-b=2c$

$z+x=c+a-b+a+b-c=2a$

A=3.2a.2b.2c=$3.2^3abc$

Do a,b,c có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn => $ab\vdots 2^2$ 

=> A chia hết cho 96




#703898 Chứng minh: $a^4+b^3+c^2\leq 2$

Gửi bởi vinamilkvietnam trong 19-03-2018 - 01:20

Theo bài $a,b,c \epsilon [-1;1]$ => $-1\leq a,b,c \leq 1$

=> $a -1 \geq 0, b-1\geq 0, c-1\geq 0 \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$

$1-a\geq 0, 1-b\geq 0, 1-c\geq 0 \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

=> $(a-1)(b-1)(c-1)+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1+1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\geq 0$

$\Leftrightarrow 2+2(ab+bc+ca)\geq 0$ (*)

Theo bài: $a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2)$

Thay vào (*) ta được $2-(a^2+b^2+c^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2$

Do $-1\leq a,b,c\leq 1 \Rightarrow a^4\leq a^2,b^3\leq b^2$

$\Rightarrow a^4+b^3+c^2\leq a^2+b^2+c^2\leq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi:

a=1,b=-1,c=0 và các hoán vị