slenderman123

lên AOPS mà tìm chứ diễn đàn vắng lắm rồi :'(

Có công thức quen thuộc e: AI/AD=(AB+AC)/BC và AD bằng mấy đó

$AA \cap BB$ coi như là giao điểm tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$,

Áp dụng đinh lý Pascal cho bộ 6 điểm $(D,A,A,C,B,B)$ Bim ơi :3

Cho em hỏi $P,Q$ đẳng giác trên phân giác góc $A$ của tam giác $ABC$ là sao ạ. EM cảm ơn

2 bài hình: https://drive.google...2btxdPlnSTzopRq

Cho $p,k \in \mathbb{Z+},p$ là số nguyên tố, $k<p-1$. CMR: $1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0(mod p)$

Với $a,b,c>0$, CMR: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a +abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

Với mỗi số tự nhiên $n \geq 4$, ký hiệu $t_{n}$ là số nhỏ nhất các tập hợp con $3$ phần tử của tập hợp $S_{n}=${$1,2,...,n$} sao cho tập hợp con gồm $4$ phần tử tùy ý của $S_{n}$ luôn chứa ít nhất một trong các tập hợp con $3$ phần tử này.

a, Xác định $t_{6}$

b,CMR: $t_{n} \geq \frac{1}{4}C^{3}_{n}$.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ sao cho $ABCD$ không phải hình thang. Tiếp tuyến tại $C,D$ của $(O)$ cắt nhau ở $T$. $TA$ cắt $BD$ ở $S,E$ đối xứng với $D$ qua $S$. $AB$ cắt đường tròn $(EBC)$ tại $F.EC$ cắt $TA$ ở $P$.

$i,$ Chứng minh rằng $PF$ tiếp xúc với $(EBC)$

$ii,$ $PF$ cắt $AC$ tại $Q,H,K$ là hình chiếu của $Q$ lên $FA,FC.M$ là trung điểm $FA, L$ là giao điểm của tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ và đường thẳng qua $Q$ song song với $AO.$CMR: $H,K,M,N$ đồng viên.

 Nguồn: HSGS TST

Có ai có lời giải câu $ii,$ không ạ em cám ơn nhiều

Về định lý $\boxed{Pascal}$

Với $6$ điểm $A,B,C,D,E,F$ đồng viên(theo thứ tự đó). Vậy ngoài trường hợp $\left\{\begin{matrix} AB\cap DE=P\\BC\cap EF=Q \\ CD\cap FA=R \\ \overline{P,Q,R} \end{matrix}\right.$ thì còn có thể có các trường hợp khác không ạ?(Ở đây em không xét các trường hợp chung chung như thay đổi thứ tự các điểm như $AEBCDF,CEDAFB,...$)

Em xin chân thành cảm ơn

Có phải NTN không ạ

c)$\mid \overrightarrow{v} \mid=\mid \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \mid= \mid \overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{MB} \mid$

$\mid \overrightarrow{v} \mid^{2}=\overrightarrow{CA}^{2}+4\overrightarrow{MB}^{2}+4\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{MB}=5+4(10-6x_{M}+x_{M}^{2})+4(x_{M}-5)=4x_{M}^{2}-20x_{M}+25=(2x_{M}-5)^{2}\geq 0\Leftrightarrow \mid \overrightarrow{v} \mid \geq 0 \Leftrightarrow x_{M}=\frac{5}{2}$

1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho các điểm $A(0;1) , B(1;3) , C(2;2)$ . 

a) Chứng minh rằng:$A, B ,C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Tính diện tích tam giác $ABC$

.Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

b) Đặt  $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{BC}$.Tính $\overrightarrow{u}.$

c)$M(x_{M};0)$;$\mid \overrightarrow{v} \mid=\mid \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \mid$.Tìm $M_{x}$ để $\mid \overrightarrow{v} \mid$ đạt giá trị nhỏ nhất.

P/S: Hậu quả của chuỗi ngày bỏ bê sách vở :v giúp mình câu c) với

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=9 \\(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y}})(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+1)(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}+1) =18 \end{matrix}\right.$

Thấy TOPIC hơi vắng bóng dãy số nhỉ

Mình sẽ lấy ví dụ của một số bài dãy số:

Trước hết là một bài dãy số cấp số nhân:

Cho dãy $(F_{n})$ xác định bởi

$\left\{\begin{matrix} F_{1}=1,F_{2}=1\\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \end{matrix}\right.$

Tìm CTTQ.

Phương trình đặc trưng: $x^{2}-x-1=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} F_{1}=e_{1}.\frac{1+\sqrt{5}}{2}+e_{2}.\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1\\ F_{2}=e_{1}.(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}+e_{2}.(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} e_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ e_{2}=-\frac{1}{\sqrt{5}} \end{matrix}\right.$

Suy ra $F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}$

Tiếp theo mình sẽ lấy một ví dụ về dãy cấp số cộng:

Cho $(F_{n})$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n}=2u_{n-1}+n-2 \end{matrix}\right.$

Đặt $u_{n}=v_{n}+f(n) $ sao cho $v_{n}=2v_{n-1}$

Ta có: $f(n)=2f(n-1)+n-2$

Đến giờ chọn $f(n)=an+b$ thì ta có: $an+b=2a(n-1)+2b+n-2\Rightarrow an+b=2an-2a+2b+n-2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2a+1\\ b=2b-2a-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-1 \end{matrix}\right.$

Suy ra $f(n)=-n-1\Rightarrow v_{1}=u_{1}-f(1)=4$ $v_{n}=2v_{n-1}=2^{n-1}.v_{1}=4.2^{n-1}=2^{n+1}\Rightarrow u_{n}=2^{n-1}-n-1$

Mong từ đây, các bạn hãy đề nghị các bài tập về dãy số đi ạ