trinhhoangdung123456

       Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng :

               $\frac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}+\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant 33$

    Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x.y.z= 1. Chứng minh rằng:

           $\ \frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{2y^{2}+z^{2}+3y^{2}z^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{2z^{2}+x^{2}+3z^{2}x^{2}}\leq \frac{1}{2}$

Dễ thấy vế trái chia hết cho 5 với y >0
Vậy y=1 , giải ra x 

                                                                 Bài giải chi tiết :

                Ta có : $\ 2^{x}; 2^{x}+1; 2^{x}+2; 2^{x}+3; 2^{x}+4$ là 5 số tự nhiên liên tiếp.

                        => $\ 2^{x}(2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)\vdots 5$

                Mặt khác ƯCLN ($\ 2^{x}$; 5)=1 nên $\ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)\vdots 5$

                + Với $\ y\geq 1$ thì VP=$\ \left [ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)-5^{y}\right ]\vdots 5$

                Mà VP=$\ 11879\equiv 4(mod 5)$

                Suy ra phương trình vô nghiệm

                +Với y=0 ta có :

                       $\ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)-5^{0}=11879$

                 <=>$\ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)=11880$

                 <=>$\ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+4)=9.10.11.12$

                 <=>$\ 2^{x}+1=9$

                 <=>$\ 2^{x}=8$

                 <=>$\ 2^{x}=2^{3}$

                 <=>x=3

                 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x; y)=(3; 0)

   Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

             $\ 3(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+2)=2(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1)$

  Giải phương trình nghiệm nguyên không âm :

     $\ (2^{x}+1)(2^{x}+2)(2^{x}+3)(2^{x}+3)(2^{x}+4)-5^{y}=11879$

Nếu thấy chưa đúng các anh chị có thể làm bài 1 bằng cách xét số dư dùm em với

    Có tồn tại hay không số nguyên dương k thỏa mãn $\ 2^{k}+3^{k}$ là số chính phương ?

Bài này yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà :

       B=  $ \frac{2015(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{^{2}}}+\frac{2016+(x+y)^{2}}{xy}$

       =...= $\ 6047+2016\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+4030\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$

       Đặt $ \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=t;t\geqslant 2$

       B=$\ 6047+2016t+4030\frac{1}{t}$

         =$\ 6047+2015(\frac{t}{2}+\frac{2}{t})+\frac{2017t}{2}$

       Áp dụng bất đẳng thức $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ và từ $\ t\geq 2$ suy ra:

       B$\ \geq 6047+2015.2+2017$

       B$\ \geq 12094$

                Dấu = xảy ra khi va chỉ khi t=2

                                                       <=>x=y

       Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 12094 <=> x=y