caothudainoi

ặc ặc!!
Viết bài thế này có được điểm trong diễn đàn không để tôi làm thành viên chuyên cần

hic hic!!hu hu!!
Lâu ngày không học lượng giác quên cả mấy công thức cơ bản
sinxcosy + sinycosx =0 suy ra sin(x+y)=0
cos2x-cos2y=-2sin(x-y)sin(x+y)=0

nếu mình không nhầm thì có một kết quả
với mọi a<1 thì luôn viết được dưới dạng
a= tổng a_i/i! với i>1 và a_i<=i
và khi đó lim n{n!a} =0
ĐS là với mọi a
Sai sót mong bà con chỉ giáo

Trước hết ta có một số kết quả:
*KQ1: f là toàn ánh
Thật vậy
Ta c/m f không bị chặn :
+g/s |f(x)|<M suy ra |x|=|f(fx))-f(x)|<2M vô lí
Nếu f bị chặn trên, đặt m=sup f(x) với x>0
khi đó tồn tại dãy {x_i} -> vô cùng mà lim f(x_i)=m hay tồn tại x_0 >0 mà f(x_0)=m
khi đó f(f(x_i))=f(x_i) +x_i>m khi x_i đủ lớn =>vo lí
Tương tự ta chứng minh f không bị chặn dưới
Kết hợp với f liên tục suy ra f là toàn ánh.
*KQ2: f là đơn ánh (không khó)
Từ KQ1 và KQ2 suy ra f là song ánh kết hợp với f liên tục suy ra f là đơn điệu
Đặt
f0(x)=x
fn(x)=f(f(...(x))...)(n lần tác động ) với n nguyên dương
fn(x)=f^(-1 )(f^(-1)(...(x))...) (-n lần tác động) với n nguyên âm
gọi c,d là nghiệm dương âm của phuơng trình y^2-ay-b=0
đặt A(x)=f(x)-cx;B(x)=f(x)-dx
Chứng minh quy nạp ta có fn(x)=(B(x)c^n-A(x)d^n)/(c-d) với mọi n nguyên
Chú ý fn(x) cũng là hàm đơn điệu
Khi đó :*Nếu f đơn điệu tăng thì A(x)=const thay vào đẳng thức ban đầu suy ra A(x)=0 suy ra f(x)=cx
*Nếu f đơn điệu giảm suy ra f(x)=dx
Bài toán xong

bình phương hai vế suy ra sinxcosy=-sinycosx
Nếu cosy=0 suy ra sinx=1 suy ra cosx =0 suy ra cos2x=cos2y
Giả sử cosxcosy khác 0
ta có tgx=tgy
mà cos2x=(1-(tgx)^2)/(a+(tgx)^2)
suy ra dpcm