Sk8ter-boi

vậy thay vì đi cửa chính để vào nhà , ta đành trèo cửa sổ
ABEL ngược lại ta có
$17+d^4=a^4.\dfrac{1}{a^4} +b^4. \dfrac{16}{b^4} +c^4.\dfrac{d^4}{c^4}
=(c^4-b^4) \dfrac{d^4}{c^4} +(b^4-a^4)(\dfrac{d^4}{c^4} + \dfrac{16}{b^4} )+a^4( \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} + \dfrac{d^4}{c^4} ) \geq (c^4-b^4)+2(b^4-a^4)+3a^4=a^4+b^4+c^4$

$17+d^4=a^4.\dfrac{1}{a^4} +b^4. \dfrac{16}{b^4} +c^4.\dfrac{d^4}{c^4}
=(a^4-b^4) \dfrac{1}{a^4} +(b^4-c^4)(\dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} )+c^4( \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} + \dfrac{d^4}{c^4} ) \geq (a^4-b^4)+2(b^4-c^4)+3c^4=a^4+b^4+c^4$

ấn tượng mãi cái bài của bác LEE hojoo
$a,b,c>0$cm
$\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \sum\limits_{cyc} a\sqrt{2a^2+bc}$

Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2007 để tạo thành 1 số tự nhiên . Ta thực hiện 1 thuật toán đơn giản như sau :
-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới
-Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số
Hãy tìm số có 1 chữ số đó

dễ có $ab= \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} +c$
lại xét $(ab-c)c=(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x})( xy+ \dfrac{1}{xy} )=(x+ \dfrac{1}{x} )^2+(y+ \dfrac{1}{y} )^2-4=a^2+b^2-4$

cho a;b;c là các số thực dương ; cmr:
$ \dfrac{8a^3}{b^3} + \dfrac{b^3}{216c^3} + \dfrac{27c^3}{a^3} \geq \dfrac{2 \sqrt{a} }{ b\sqrt{6c} }\sqrt{ab+18c^2} + \dfrac{ \sqrt{b} }{6c \sqrt{a}}\sqrt{3bc+2a^2} + \dfrac{3 \sqrt{c} }{a\sqrt{b} }\sqrt{b^2+12ac} $

N.xét:bài này lộ hơn các bài trước; nhưng ở đây tôi muốn nhấn mạnh dạng TÍCH....

bài trên lời giải khá đơn giản
trước tiên ta đặt $\dfrac{2a}{b}=x ; \dfrac{b}{6c}=y ; \dfrac{3c}{a}=z $
ta có BDT tương đương với
x;y;z>0 và xyz=2
CMR: $x^3+y^3+z^3 \geq x\sqrt{y+z} +y\sqrt{x+z} +z\sqrt{x+y}$
mặt khác ta có $x^3+y^3+z^3 \geq \dfrac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{3}= \dfrac{[(x+y)+(y+z)+(z+x)](x^2+y^2+z^2)}{6} \geq \dfrac{(x\sqrt{y+z} +y\sqrt{x+z} +z\sqrt{x+y})^2 }{6} $
bài toán trở thành CM
$x\sqrt{y+z} +y\sqrt{x+z} +z\sqrt{x+y} \geq 6$
xyz=2 nên bài toán trên là khá dễ dàng ...

chú ý rằng ; ngoài việc lao đầu vào chứng minh 1 bài toán ; ta nên có cái nhìn tổng quan về bài toán đó trước , để thấy đc sự quan hệ giữa các bài toán với nhau .
ở đây cũng nêu thêm ; đôi khi , từ 1 BDT cho trước ; ta cũng có thể tạo ra 1 BDT mới , và điều quan trọng là che giấu đi ĐK của BDT cũ .... , như ở trên , chúng ta đã che dấu đi đc đk abc=2

tiếp tục với 1 BĐt , tư tưởng đặt ẩn phụ khá hay .... và khó
[Gabriel Dospinescu]
cho a,b,c>0 a+b+c=6
CMR
$\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} \geq \sqrt{15+ab+bc+ac} $

vâng ; đó là 1 lời giải rất hay vì có sử dụng pp chuẩn hóa và Am-Gm ngược dấu ..
như các bạn đã biết ; việc sáng tạo ra các bdt là 1 nhu cầu thiết yếu và cũng khá thú vị ; nhất là đối với những học sinh muốn đi sâu vào BDT hay những học sinh phải làm chuyên đề...(như tui nah` )
quay lại bài toán trên ; con đường đi đến nó khá đơn giản
nếu ta đặt $x= \dfrac{3a}{a+b+c} ;y= \dfrac{3b}{a+b+c} ;z= \dfrac{3c}{a+b+c}$
chúng ta sẽ có BDT tương đương
a;b;c >0 ; a+b+c=3
$\sum \dfrac{a}{1+b^2} \geq \dfrac{3}{2}$
đây là 1 BDT khá quen thuộc có thể giải bằng Am-Gm ngược dấu

Với ý tưởng tương tự như vậy ; ta có thể lập ra 1 số BDT như sau:
với các biến tham gia dương x;y;z;t ta luôn có :
$1) \sum \dfrac{4x+y+z}{(x+y+z)^2+9y^2} \geq \dfrac{3}{x+y+z}$
$2) \sum \dfrac{x^2}{x(x+y+z)^2+18y^3} \geq \dfrac{1}{3(x+y+z)}$
$3) \sum\limits_{cyc(x;y;z;t)}\dfrac{x}{(x+y+z+t)^3+64y^2z} \geq \dfrac{1}{2(x+y+z+t)^2} $

giờ hãy thử làm 1 bài khác
cho a;b;c là các số thực dương ; cmr:
$ \dfrac{8a^3}{b^3} + \dfrac{b^3}{216c^3} + \dfrac{27c^3}{a^3} \geq \dfrac{2 \sqrt{a} }{ b\sqrt{6c} }\sqrt{ab+18c^2} + \dfrac{ \sqrt{b} }{6c \sqrt{a}}\sqrt{3bc+2a^2} + \dfrac{3 \sqrt{c} }{a\sqrt{b} }\sqrt{b^2+12ac} $

N.xét:bài này lộ hơn các bài trước; nhưng ở đây tôi muốn nhấn mạnh dạng TÍCH....

cho x;y;z>0 CMR
$\dfrac{3x}{(x+y+z)^2+9y^2} + \dfrac{3y}{(x+y+z)^2+9z^2} + \dfrac{3z}{(x+y+z)^2+9x^2} \geq \dfrac{3}{2(x+y+z)} $

xuất sứ :sáng tác hehe(khoe chút cho zui )

@TIG Messi: Đề sai hoặc là em viết thừa thì phải , nếu vậy thì bỏ lun 3 ở tử số đi:


--------
vâng chính thế , xin phép nói thêm
BDT với n số ko âm
$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{( \sum\limits_{i=1}^{n}x_1)^2+n^2x_{i+1}^2 } \geq \dfrac{1}{2( \sum\limits_{i=1}^{n}x_i) } $
đc gọi tạm là BDT hannah

Bài Toán 1:
Cho (O) và M là 1 điểm nằm ngoài (O) ; từ M kẻ các tiếp tuyến MB ; MD đến đường tròn (O);MAC là 1 cát tuyến bất kỳ. CMR : AB.CD=BC.AD(*)

-Định nghĩa ; tứ giác ABCD nội tiếp (O) mà thỏa mãn thì đc gọi là tứ giác điều hòa
-chú ý ; nếu BD cắt AC tại I thì M;A;I;C đc gọi là hàng điểm điều hòa

tiếp theo ; chúng ta sẽ chứng minh bài toán đảo
cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) thỏa mãn AB.CD=BC.AD
CMR ;các tiếp tuyến tại B và D // với nhau hoặc cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường thẳng AC

ỨNG DỤNG
1/ cho (O) và 1 điểm M cố định nằm ngoài (O) ; kẻ tiếp tuyến MB và 1 cát tuyến MAC bất kỳ ;
1 đường thẳng d bất kỳ // với MB cắt BA; BC lần lượt tại N và P
CMR ; quỹ tích tđ I của NP là 1 tia cố định
2/cho tam giác ABC nội tiếp (O) các tiếp tuyến tại B và C giao nhau tại N. Dựng dây AM //BC; MN gaio (O) tại P
CMR PA đi qua tđ' I của BC
3/ cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B từ C trên AB ( C nằm ngoài 2 đường tròn) kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với (O) . AM và AN cắt (O') tại P và Q CMR MN đi qua tđ' I của PQ