Tran Van Dong

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy-m=0 & & \\ \left ( x+y \right )^{2}-xy-3m+8=0 & & \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế $\Rightarrow \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x+y \right )-4m+8=0$ $(*)$

Xem phương trình $(*)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x+y$, hệ đã cho có nghiệm $\Rightarrow$ phương trình $(*)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow m\geq \frac{31}{16}$

em nghĩ vẫn còn thiếu anh ạ, còn đk có nghiệm của $x+y$ và $xy$ nữa chứ nhỉ 

Đây là hẹ phương trình đoi xung nên nếu có nghiệm $(x_{0};y_{0})$ thì cx có nghiệm $(y_{0};x_{0})$

Do dó, pt có nghiệm dn khi $x_{0}=y_{0}$

Dễ r nhé     

nếu mà t/h x=y vô nghiệm và t/h còn lại có nghiệm thì sao 

Ta có bất đẳng thức phụ :

$\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}\geq \frac{2}{a^2+2}\Leftrightarrow (a^2-2a)^2\geq 0$ ( đúng )

Vậy ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{a^2+2}$ $\geq 1$

Quy đồng thì đẳng thức tương đương với $a^2+b^2+c^2\geq \frac{a^2b^2c^2-16}{4}=12$ ( đúng theo AM-GM với abc=8 )

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2 .

Sao tìm được bt phụ hay vậy bạn 

(x,y)=0 là nghiệm . Xét trường hợp x,y khác 0.

$d=gcd(x,y), x=da;y=db (a,b)=1.

=>d^2a^2b^2-a^2-7b^2=4ab

=>b|a^2 ; a|7b^2$

=>b=1 và a|7 . 

Mình ko hiểu lắm

Áp dụng BĐT bunhiacopki có:

\[(1+1)((a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2})\geq (a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2} \\\geq (1+\frac{4}{a+b})^{2}=25 \\\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{25}{2}\]