nguyen kd

${{cosA.cosB} \over {cosC}} + {{cosB.cosC} \over {cosA}} + {{cosC.cosA} \over {cosB}} = {3 \over 2}$

$ \Leftrightarrow {{({b^2} + {c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2})} \over {2{c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}} + {{({c^2} + {a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \over {2{a^2}({b^2} + {c^2} - {a^2})}} + {{({a^2} + {b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2})} \over {2{b^2}({c^2} + {a^2} - {b^2})}} = {3 \over 2}$

Đặt

$x = {1 \over {{b^2} + {c^2} - {a^2}}}$

$y = {1 \over {{c^2} + {a^2} - {b^2}}}$

$z = {1 \over {{a^2} + {b^2} - {c^2}}}$

ta có $x,y,z > 0$

Đẳng thức trên  $ \Leftrightarrow {z \over {(x + y)}} + {x \over {(y + z)}} + {y \over {(z + x)}} = {3 \over 2}$ $ \Leftrightarrow x = y = z$ (BĐT Nesbit)

$ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Xuất phát từ chỗ

$\sum {\frac{1}{{\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + 1}} = } \sum {\frac{{{a^4}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \ge 1 \Rightarrow } \sum {\frac{{{a^2} + 1}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \le 2 \Rightarrow } \sum {\frac{{2({a^2} + 1)}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \le 4}$

Do $\sum {\left( {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}} \right) = } \sum {\frac{{({a^2} - a + 1) + ({a^2} + a + 1)}}{{({a^2} + a + 1)({a^2} - a + 1)}} = } \sum {\frac{{2({a^2} + 1)}}{{{a^4} + {a^2} + 1}}}$

$\Rightarrow \sum {\left( {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}} \right)}  \le 4$  mà $\sum {\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} \ge 1 \Rightarrow } \sum {\frac{1}{{{a^2} - a + 1}} \le 3}$

$\frac{{1 - a}}{{1 + b}} + \frac{{1 - b}}{{1 + c}} + \frac{{1 - c}}{{1 + a}} =  - \frac{{({a^2} + {b^2} + {c^2}) + (a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}) - (a + b + c) - 3}}{{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}} =  - \frac{{\sum {a{b^2}}  + \sum {{a^2} + \sum {a - 9} } }}{{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$

 Ta có:

$\sum {a{b^2}}  + \sum {{a^2} + \sum {a - 9} }  = \sum {a{b^2}}  + {(\sum a )^2} - \sum {2ab}  + \sum a - 9 = \sum ( a{b^2} + a - 2ab)\mathop  \ge \limits^{AM - GM} 0 \Rightarrow Q.E.D$

Ta có bài toán sau

Với a;b;c thỏa mãn abc=1 thì ta có bđt

$\sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2$

Ta sẽ cm 

$\frac{1}{a^{2}-a+1}\leq \frac{3}{2}.\frac{a^{4}+a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-a+1)\geq 0$

tương tự rồi cộng vế suy ra đpcm

Tính nhầm cái này rồi bạn

$\frac{1}{{{a^2} - {a} + 1}} \le \frac{3}{2}.\frac{{{a^4} + {a^2}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \Leftrightarrow {(a - 1)^2}({a^2} - a + 1) \ge 0$

Phép biến đổi đúng là:

$\frac{1}{{{a^2} - {a} + 1}} \le \frac{3}{2}.\frac{{{a^4} + {a^2}}}{{{a^4} + {a^2} + 1}} \Leftrightarrow (a - 1)(3{a^3} + 3{a^2} + 4a + 2) \ge 0$

Tới đây không giải quyết được gì cả.