languyengiahy

Vẽ OG vuông góc với BC và OH vuông góc với AD.

 geogebra-export.png   189.45K   28 Số lần tải

Ta có: $\Delta SAD$ đồng dạng với $\Delta SCB$ (g.g). Mà G, H lần lượt là trung điểm của BC và AD. $\Rightarrow \Delta SAH$ đồng dạng với $\Delta SCG$ (c.g.c).

$\Rightarrow \angle SHA = \angle SGC \Leftrightarrow \angle SHF = \angle SGE$ (1)

FSHO và ESGO là các tứ giác nội tiếp (do $\angle OSF=\angle OHF=\angle OGE=\angle OSE=90^{o}$) $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \angle SHF=\angle SOF\\ \angle SGE=\angle SOE\end{matrix}\right.$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\angle SOF=\angle SOE$. Mà OS là đường cao tam giác OFE nên tam giác OFE cân tại O $\Rightarrow OE=OF$

Giả sử cả ba phương trình $x^{2}+ax+b, x^{2}+bx+c, x^{2}+cx+a$ đều vô nghiệm.

$\Rightarrow a^{2}-4b+b^{2}-4c+c^{2}-4a<0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}<4.12=48$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=48$ nên điều giả sử sai. Suy ra có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Giả sử cả ba phương trình có nghiệm $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq 4b\\ b^{2}\geq 4c\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{8}\geq 256b^{4}\\ b^{4}\geq 16c^{2}\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a^{8}\geq 256.16.4a \Leftrightarrow a\geq 4$. Tương tự, ta có $b\geq 4, c\geq 4 \Rightarrow a+b+c\geq 12$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4. Điều này vô lí vì theo gt a, b, c đôi một khác nhau. Vậy có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

$0,5,12,17,22,29,36,6,11,16,4,2,9,3,10,15,20,25,30,35,42,49,7,14$