vietlao001

Bài tập

Bài 1:

Làm các phép tính sau:

a. $\frac{x}{{xy - {y^2}}} - \frac{y}{{{x^2} - xy}}$

b. $\frac{{x - y}}{{2x + 2y}} + \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{2{y^2} - 2{x^2}}}$

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lý:

a. $\frac{{{x^2} - xy}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} + \frac{{{y^2} + xy}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} + \frac{{2xy}}{{{y^2} - {x^2}}}$

b. $\frac{{{x^4} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{{x^2} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}} + \frac{{{x^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{x^4} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Bài 3:

Cho $n \in Z$, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{n}{3}$

b. $B = \frac{{{n^4}}}{{12}} - \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{{12}} + \frac{n}{6}$

Bài 4:

Tính tổng:

$P = \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {{x^2} + xz - {y^2} - yz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {{y^2} + xy - {z^2} - xz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} + zy - {x^2} - xy} \right)}}$

Bài 5:

Tìm $x \in Z$ để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{2x - 5}}$

b. $B = \frac{{3{x^3} + 9{x^2} - x - 5}}{{x + 3}}$

Bài 6:

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}}$

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$Q = \frac{{2{x^2} - 4x + 17}}{{{x^2} - 2x + 4}}$

Bài 7:

Tìm m và n sao cho:

$\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \frac{m}{{x + 2}} + \frac{n}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Bài 8:

Tính tổng:

a. $\frac{{y + z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{z + x}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{x + y}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $\frac{1}{{x\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{y\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{z\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 9:

Tính các tổng sau:

a. $A = \frac{x}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^2}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^2}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

c. $C = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^3}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^3}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 10:

Tính các giá trị của các biểu thức sau:

a. $A = \frac{{5a - b}}{{3a + 7}} + \frac{{3b - 2a}}{{2b - 7}}$ với $a \ne  - \frac{7}{3};b \ne \frac{7}{2}$ và $2a - b = 7$

b. $B = \frac{{8a + 5b}}{{5a - 1}} + \frac{{3a + b}}{{4b + 1}}$ với $a \ne \frac{1}{5};b \ne \frac{1}{4}$ và $3a + 5b =  - 1$

Bài 11:

Tính tổng:

a. $P = \frac{x}{{ - xy + x + 1}} - \frac{y}{{yz - y + 1}} + \frac{z}{{xz + z - 1}}$ với $xyz = 1$ và các mẫu thức đều khác 0.

b. $Q = \frac{x}{{xy + x + 2\;}} + \frac{y}{{yz + y + 1}} + \frac{{2z}}{{xz + 2z + 2}}$ với $xyz = 2$ và các mẫu thức đều khác 0.

Bài 12:

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện $xy + yz + zx = 0$. Tìm giá trị của tổng:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + 2xy}}$

Bài 13:

Cho $x,y,z \ne  \pm 1$ và $xy + yz + zx = 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Bài 14:

Cho $xyz \ne 0$ và $x + y + z = 0$. Tính:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$

Bài 15:

Cho ba số $a,b,c \ne 0$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}$

 

 

 

             

A. Một số kiến thức cần nhớ

​- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

​- Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

​- Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp.

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( { - \frac{C}{D}} \right)$$

​B. Một số ví dụ minh họa

​Ví dụ 1: 

Thực hiện phép tính:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}}$$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$​

$ = \frac{{2x - \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x - x + 1 + {x^2} - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$

Ví dụ 2:

Cho biểu thức:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}}$

a. Rút gọn P.

b. Tìm $x \in Z$ để P có giá trị nguyên.

 

Hướng dẫn giải

a. Rút gọn P:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}} = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$P = \frac{{2.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \left[ { - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right]$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 3x + 1 + {x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{5{x^2} + 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{5}{{x - 1}}$

b. Với $x \in Z \Leftrightarrow x - 1 \in Z \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow 5 \vdots x - 1$

$x - 1 \in \left\{ { \pm 1, \pm 5} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 4,0,2,6} \right\}$

Ví dụ 3:

Cho $n \in Z$ . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3}$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}.3}}{{2.3}} + \frac{{5n.2}}{{3.2}} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{75{n^2}}}{6} + \frac{{10n}}{6}$

$ \Leftrightarrow A = \frac{{125{n^3} + 75{n^2} + 10n}}{6} = \frac{{5n\left( {25{n^2} + 15n + 2} \right)}}{6} = \frac{{5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{6}$

Nhận xét: $5n;5n + 1;5n + 2$ là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên: .

$5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right) \vdots 6 \Leftrightarrow A \in Z$

Ví dụ 4:

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Hướng dẫn giải

a.

$A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - 1\left( {y - z} \right) - 1\left( {z - x} \right) - 1\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$

​b.

$B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - yz\left( {y - z} \right) - zx\left( {z - x} \right) - xy\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{yz\left( {z - y} \right) + xz\left( {x - z} \right) + xy\left( {y - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{y{z^2} - {y^2}z + x{y^2} - {x^2}y + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) - {y^2}\left( {z - x} \right) + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{\left( {xy + yz - {y^2} - xz} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 1$

Test

$$M = ( - \sqrt 2 + \sqrt {10} )(\sqrt 2 + \sqrt {10} ):\sqrt[3]{{ - 64}}$$

Tính giá trị biểu thức:

$$M = \left( {\sqrt 8 - 3\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right).\left( {\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right):\sqrt[3]{{ - 64}}$$

$$B = \sqrt {11} + \sqrt {12} $$