Tìm kiếm
Bí mật
TH&TT12/2018 chưa có sao ?
toantinhoc
Trong chủ đề: Đề thi IMO 2018
12-07-2018 - 04:48
Ngày thi thứ hai:
[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi
]
- Một vị trí là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng sao cho $x,y$ là các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng $20$. Lúc đầu tất cả $400$ ví trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá vào các vị trí trống với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai viên đá màu đỏ bất kỳ là khác $\sqrt{5}$ và Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kỳ. Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể đặt được các viên đá. Tìm số $K$ lớn nhất sao cho Ánh luôn đặt được ít nhất $K$ viên đá mà không phụ thuộc cách đặt đá của Bảo.
- Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.
- Một tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB \cdot CD = BC \cdot DA $. Điểm $X$ nằm bên trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle{XAB} = \angle{XCD}$, $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Chứng minh rằng $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^0 $.
