Tổng quát:
Xét đa giác đều $n$ cạnh. Số tam giác tù:
- $n$ chẵn: $n.\binom{2}{\dfrac{n-2}{2}} $
- $n$ lẻ: $ n. \binom{2}{\dfrac{n-1}{2}} $
- the man yêu thích
Gửi bởi nguyenkant trong 27-02-2018 - 21:12
Tổng quát:
Xét đa giác đều $n$ cạnh. Số tam giác tù:
Gửi bởi nguyenkant trong 09-10-2017 - 00:15
Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?
Ta cần tìm 1 đánh giá:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:
$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1 }$$
là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.
Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:
$$ f'(1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{8} $$
Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.
Gửi bởi nguyenkant trong 08-10-2017 - 17:47
Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]
Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:
$$ \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$
Ta có đánh giá sau:
$$ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{ \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}} + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1 }$$
Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.
Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp.
Gửi bởi nguyenkant trong 08-09-2017 - 16:29
OLYMPIC HÌNH HỌC IRAN 2017 (intermediate)
https://drive.google...WtKRWJkSkk/view
Gửi bởi nguyenkant trong 08-09-2017 - 16:25
Gửi bởi nguyenkant trong 07-09-2017 - 17:06
Gửi bởi nguyenkant trong 03-09-2017 - 21:15
Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{3} +b^{3} +c^{3} =1 $ và:
$$ \dfrac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}} + \dfrac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+ \dfrac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}} \geq k $$
Tìm $k$?
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học