nguyenkant

Tổng quát: 

Xét đa giác đều $n$ cạnh. Số tam giác tù:

•  $n$ chẵn: $n.\binom{2}{\dfrac{n-2}{2}} $
• $n$ lẻ: $ n. \binom{2}{\dfrac{n-1}{2}} $

Lời giải rất hay nhưng làm sao nghĩ ra được đánh giá trên ?

Ta cần tìm 1 đánh giá:

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$

đúng với mọi giá trị $a$ , tức là ta cần tìm $m$ thỏa mãn đánh giá trên. Ta coi:

$$ f(a) = \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{a^{2m } +a^{m} +1  }$$ 

là 1 hàm số theo biến $a$ và tìm $m$ sao cho hàm số đại Giá trị nhỏ nhất là $0 $ khi $a=1$.

Ta tìm $m$ sao cho thỏa mãn:

$$ f'(1) = 0  \Leftrightarrow  m = \dfrac{1}{8} $$

Để chứng minh đánh giá trên đúng ta chỉ cần tương đương.
Nếu tính toán đạo hàm không có gì sai thì đánh giá trên là đúng.

Bổ đề: [ Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje ]

Với $x,y,z$ dương và $xyz=1$ ta có:

$$  \sum \dfrac{1}{x^{2} +x+1} \geq 1$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$ \sum \left [ \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}} \right ] \geq 1 $$

Ta có đánh giá sau: 

$$  \dfrac{4}{3} - \left ( \dfrac{2}{  \sqrt{\dfrac{1+a^{2}}{2}}  + \dfrac{2a}{1+a}} \right )^{\dfrac{1}{3}}  \geq \dfrac{1}{a^{\dfrac{1}{4} } +a^{\dfrac{1}{8}} +1  }$$

Theo bổ đề trên ta thu được điều phải chứng minh.

Đang đi uống cafe không biết tính toán hay có sai chỗ nào không mọi người xem giúp.

OLYMPIC HÌNH HỌC IRAN 2017 (intermediate)

https://drive.google...WtKRWJkSkk/view

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a^{3} +b^{3} +c^{3} =1 $ và:

$$  \dfrac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}} + \dfrac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+ \dfrac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}}  \geq k  $$
Tìm $k$? 
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?