Sauron

Điều kiện $x\geq1$

Đặt $a= \sqrt[3]{2-x}$, $b=\sqrt{x-1}$

ta có hệ phương trình:

$ \left\{\begin{matrix} a+b=1\\a^{3}+b^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $ \left\{\begin{matrix} a+b=1\\a^{3}=a(2-a) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{3}+a^{2}-2a=0$

$\left[\begin{matrix} a=0\\ a=1\\a=-2\end{matrix}\right.$

$...........$

$GT$ => $xy$ $\leq$ $4$

$P$ = $\frac{2010}{xy}$+$\frac{12}{x^{2}+y^{2}}$+$9xy$ =($\frac{12}{x^{2}+y^{2}}$+$\frac{12}{2xy}$)+($9xy+\frac{144}{xy}$)+$\frac{1860}{xy}$ $\geq$ $12(\frac{4}{(x+y)^{2}})+2\sqrt{9xy.\frac{144}{xy}}+\frac{1860}{4}$ $\geq$ $540$

$"="$ xảy ra : $x=y=2$

Kẻ đường cao $AD$ của  $\Delta ABC$, $MI$ $\perp AN$.

Dễ thấy được : $FEMD$ nội tiếp => $ND.NM$ $=$ $NE.NF$

                         $ND.NM$ $=$ $NI.NA$

                         =>  $NE.NF$ $=$ $NI.NA$ => $IFEA$ nội tiếp => $I,A,E,F,H$ cùng thuộc một đường tròn.

                         ==> $I,H,M$ thẳng hàng. => $H$ trực tâm $\Delta AMN$.

                         Do đó : $NH.NQ$ = $ND.NM$ = $NF.NE$ = $NB.NC$.

                          Tứ giác BHQC nội tiếp => đpcm

$\sum\frac{x^2}{x^2+y^2-xy} = \sum\frac{x^2(x+y)}{x^3+y^3} = \sum\frac{x^3+x^2y}{x^3+y^3}= 3+\sum\frac{x^2y-y^3}{x^3+y^3} \leq 3+\sum\frac{y(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=3+\sum\frac{x-y}{x}=6-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z}\leq 3$.