Nesbit

Ngoài lề 1 chút:
Để up được ảnh vào bài viết thì với tính năng hiện tại của form soạn thảo chỉ cho phép insert image dạng URL, nghĩa là bạn phải up lên đâu đó rồi copy link thả vào.

 

Bạn có thể úp thẳng ảnh lên diễn đàn, như hướng dẫn ở bài viết thứ hai trong Hướng dẫn vẽ hình trên diễn đàn.

Cảm ơn @HaiDangPham về các bài học rất chi tiết. Chắc có thể đăng thẳng ảnh lên diễn đàn luôn thì dễ đọc hơn, thay vì vào Google Drive mở từng ảnh một có vẻ hơi bất tiện.

$\begin{CD}
A @>a>> B \\
@VVbV @VVcV \\
C @>d>> D
\end{CD}$

 

Công thức không hiển thị là do các kí tự bên trong có nhiều màu khác nhau, chắc là do em copy từ code block của bài khác. Em cần bôi đen toàn bộ rồi bấm vào nút cục tẩy (Remove Format) ở góc trên bên trái của trình soạn thảo để xoá hết formatting đi thì mới được. Ngoài ra thì không cần dấu đô-la nữa vì begin{CD} nó cũng giống với begin{equation}, tức là bản thân nó đã là môi trường Toán rồi:

\begin{CD}
A @>a>> B \\
@VVbV @VVcV \\
C @>d>> D
\end{CD}

Lưu ý: Khi xuống dòng trong công thức Toán (ví dụ trong các môi trường align) thì cần nhấn Shift + Enter thay vì chỉ nhấn mỗi Enter. Hi vọng tháng sau sẽ có thời gian để cải thiện vấn đề này, vì không phải ai cũng biết để nhấn thêm nút Shift. 

 

Ngoài ra thì hướng dẫn gõ công thức Toán hiện tại (tức là topic này) khá lan man, thành viên ngại đọc hết từ đầu đến cuối nên dễ bỏ qua một số tính năng hoặc lưu ý quan trọng. Hẹn các bạn trong tương lại gần sẽ viết lại hướng dẫn ngắn gọn và đầy đủ hơn.

@Nesbit Có ảnh này nét hơn anh

IMG_0656.jpeg

Cảm ơn @Nxb, bức ảnh huyền thoại này anh đã thấy không biết bao nhiêu lần nhưng chưa thấy phiên bản màu như này. Không biết là tô màu bằng tool gì mà kết quả khá tốt (tuy có một số chỗ chưa hoàn chỉnh lắm, ví dụ ở chỗ bàn tay của ông bác hàng đầu tiên thứ hai từ trái sang).

 

Mọi người nên đọc hết toàn bộ bản dịch này, có nhiều đoạn thực sự rất ấn tượng và cảm xúc.

 

Hẹn anh em đầu tháng sau sẽ cùng tổ chức lại diễn đàn nhé, đợt này bận kinh khủng nên đành phải offline tiếp để tập trung làm việc.

Thực sự thì anh thấy chẳng có cách nào khác ngoài việc luyện tập chăm chỉ đâu @Lemonjuice à. Thi HSG và thi ĐH đòi hỏi những kĩ năng làm bài khác nhau, nhất là khi bây giờ thi ĐH phải thi trắc nghiệm. Em thấy khó khăn rất có thể là do em chưa quen với dạng thi này, cứ tập luyện nhiều là được. Mua thêm sách trắc nghiệm về làm, mỗi lần làm có thể bấm giờ chẳng hạn. Tất nhiên là phải nắm vững kiến thức song song với rèn kĩ năng.

 

Anh thì rất phản đối thi Toán bằng trắc nghiệm, vì nó chú trọng hơn vào kĩ năng làm bài chứ không phải là tư duy. Nhưng biết làm sao được.

 

Nhân chủ đề này nhớ lại một chuyện năm 2007 là năm mình thi VMO. Năm đó bộ GD phát động phong trào hai không: không tiêu cực trong thi cử và không bệnh thành tích trong giáo dục. Thế là có một loạt thay đổi trong phong trào thi HSG. Học sinh Olympic không được ưu tiên gì, không tuyển thẳng ĐH, không cộng điểm, không được nghỉ môn phụ để học đội tuyển, v.v..., tóm lại là lúc phát động phong trào thì các trường và học sinh được hiểu là sẽ không được ưu tiên gì cả. Đồng thời thay đổi luôn cách ra đề, thay vì làm hai ngày mỗi ngày 3 bài trong vòng 180ph, thì chỉ thi một ngày làm 7 bài trong 180ph (chắc để tiết kiệm chi phí). Và thế là rụng như sung, cả nước chỉ có tầm 40 bạn đạt giải QG môn Toán, có lẽ vì lúc đó chẳng ai quen với đề thi kiểu này để mà chuẩn bị (những năm sau đó thì đỡ hơn).

 

 

Đứng trước mặt ông là GS Hoàng Xuân Sính, học trò của ông và là nữ giáo sư Toán học đầu tiên của Việt Nam.

Vậy mới nói là “không thể” (thực ra là có thể làm theo cách @nmlinh16 ) dùng quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa cho hàm căn thức (bậc lẻ) được. Vì tập xác định của chúng khác nhau!

Em nghĩ vậy anh Thanh ạ, vì thế nên lời giải ở đầu chủ đề là không chặt chẽ (@Thegooobs nhìn được như vậy để đặt câu hỏi cũng là rất đáng khen đấy). Mà không cần biết bậc lẻ hay chẵn, cứ viết $x^q$ với $q$ không phải số nguyên thì đã bắt buộc phải có điều kiện $x > 0$ rồi (nó cũng giống như khi viết $\sqrt{x}$ thì phải có $x\ge 0$, tất nhiên ta không bàn đến số phức ở đây), vì theo định nghĩa nó là như vậy.

Bàn thêm một chút về việc tính đạo hàm của $\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$. Có thể dùng cách xét dấu như @nmlinh16 ở trên, hoặc cũng có thể đặt $y=\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$, suy ra $y^n = \frac{1}{x^m}$, sau đó lấy đạo hàm hai vế là được.

P/s: @Nesbit làm sao mà @ một vài ký tự là phải gợi ý thành viên để chọn mới tiện Khuê ạ

Dạ đúng là hiện tại hơi bất tiện chỗ này, nhưng chức năng này hơi phức tạp phải chờ nâng cấp hẳn luôn thì mới có được anh Thanh ạ. Đợt vừa rồi gọi là "nâng cấp" nhưng thực ra vẫn là phiên bản phần mềm như cũ, em gắng làm dùng tạm để tổ chức lại diễn đàn trước rồi chờ ít tháng nữa lúc @perfectstrong học việc xong sẽ tiến hành nâng cấp luôn anh ạ. Anh em mình bàn riêng kế hoạch này nhé anh, em đã chuẩn bị xong định cuối tuần đăng bài mà lại bận việc

Giờ mới có chút thời gian để giải thích thêm tại sao câu hỏi của @Thegooobs lại rất hay, và tại sao lại có sự khác nhau giữa $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ và $x^{\frac{-2}{3}}$, và tại sao $x^{\alpha}$ với $\alpha$ không nguyên chỉ được định nghĩa (trong SGK) cho $x > 0$.

 

Tất nhiên là muốn trả lời những câu hỏi ở trên thì ta cần có định nghĩa của khá nhiều khái niệm: căn thức, luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ thực. Ta cần bắt đầu với luỹ thừa với số mũ nguyên.

Với số thực $a$ bất kì và số nguyên dương $n$, ta định nghĩa luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$ và kí hiệu nó là $a^n$. Nghĩa là $$a^n = \underbrace{a\times a \times \dots \times a}_{n \text{ lần}}.$$

Nếu $a\neq 0$ thì ta định nghĩa $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, còn $0^0$ không xác định. Trong định nghĩa này, $a$ được gọi là cơ số và $n$ được gọi là số mũ.

 

Từ định nghĩa trên, ta sẽ có những tính chất quan trọng sau.

Với hai số thực $a,b$ khác $0$ và số nguyên $n$ bất kì, ta có:

\begin{align*}
a^{m+n} &= a^m\times a^n\\
a^{m\times n} &= (a^m)^n\\
(a\times b)^n &= a^n \times b^n.
\end{align*}

 

Ở trên thay vì "khác $0$", có thể thay bằng "bất kì (sao cho không có đại lượng nào có dạng $0^0$ ở bên dưới)". Việc nêu ra những tính chất này ở đây không phải là thừa thãi đâu mà có lí do cả (nhá hàng: hãy để ý là Nesbit không ghi "Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên" ở tên của định lý).

 

Tiếp theo, để định nghĩa được luỹ thừa với số mũ hữu tỉ, ta sẽ định nghĩa căn thức trước.

Với số thực $a$ bất kì và số nguyên dương $n$, ta định nghĩa căn bậc $n$ của $a$ là số thực $b$ sao cho $b^n = a$. Nếu $n$ lẻ thì $b$ luôn tồn tại duy nhất và ta kí hiệu $b=\sqrt[n]{a}$. Trong trường hợp $n$ chẵn:

• Nếu $a < 0$ thì $b$ không tồn tại.
• Nếu $a=0$ thì $b=0$.
• Nếu $a > 0$ thì có hai số $b$ thoả mãn, trong đó một số âm và một số dương.

Ở trường hợp $n$ chẵn, nếu $b$ tồn tại và không âm thì ta kí hiệu $b=\sqrt[n]{a}$.

Định nghĩa này khá cầu kì, nhưng không biết nên làm sao cho đơn giản hơn mà vẫn chặt chẽ. Thực ra trong định nghĩa có nhiều thứ là "định lý" mới đúng (ví dụ chứng minh tồn tại), nhưng thôi bước này tạm thời bỏ qua.

 

Bây giờ ta đã có thể định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.

Với số thực dương $a$ bất kì và số hữu tỉ bất kì $q=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n$ nguyên và $n > 0$, ta định nghĩa luỹ thừa bậc $q$ của $a$, kí hiệu $a^q$, như sau: $$a^q = \sqrt[n]{a^m}.$$

 

Bây giờ đến câu hỏi quan trọng nhất: Tại sao ở trên chỉ định nghĩa cho cơ số dương mà thôi?

 

Có thể đưa ra nhiều câu trả lời khác nhau, nhưng thuyết phục nhất thì có lẽ là để giữ được những tính chất để có thể tính toán như luỹ thừa với số mũ nguyên, ví dụ như những tính chất trong Theorem. Ít nhất với chương trình phổ thông thì như vậy, vì luỹ thừa cho cơ số thực bất kì thực ra là cũng có định nghĩa đàng hoàng ở chương trình Toán đại học.

 

Cụ thể hơn, hãy xét một vài ví dụ sau đây, với giả sử rằng ta có thể định nghĩa luỹ thừa với cơ số thực bất kì và những tính chất trong Theorem đều giữ nguyên được.

Ta có $-1 = \sqrt[3]{(-1)^1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = 1.$

(Ở trên nên ghi là "Phản ví dụ" thay vì "Ví dụ", nhưng chưa có môi trường phản ví dụ nên đành chịu, sau này sẽ thêm vào.) Trong ví dụ này thì ta chỉ dùng định nghĩa, nhưng nếu định nghĩa không đúng thì cũng sẽ dẫn đến nghịch lý. Đọc ví dụ này các bạn có thể thấy là tại sao thầy @chanhquocnghiem lại phải thêm điều kiện "phân số tối giản" khi bổ sung định nghĩa cho luỹ thừa với cơ số thực và số mũ thực. Có lẽ bạn sẽ hỏi ngay rằng: Vậy chỉ cần định nghĩa lại như thầy @chanhquocnghiem là xong chứ gì? Hãy xem tiếp ví dụ bên dưới.

Ta có $-1 = (-1)^{2\times\frac{1}{2}} = \left[(-1)^2\right]^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} =1.$

Như vậy thì ở đây, tính chất $a^{pq} = (a^p)^q$ cũng đưa đến một nghịch lý.

 

Có thể tìm được vô vàn những ví dụ như ở trên. 

 

Tóm lại là, để cho những tính chất Toán học cơ bản của luỹ thừa được đảm bảo thì tốt nhất là chỉ nên định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (hoặc số mũ thực) cho cơ số dương mà thôi. Tuy ta hoàn toàn có thể đưa ra định nghĩa bất kì cho những trường hợp còn lại (vì về mặt Toán học thì không ai cấm), ví dụ $a^q = 0$ nếu $a \le 0$, nhưng làm như vậy có vẻ là chẳng được ích lợi gì cả. 

 

Bài viết có chỗ nào chưa đúng xin nhờ anh em góp ý giúp với nhé.

Vấn đề không hẳn tác giả không biết tính đạo hàm mà là nói đến tập xác định của hai hàm là khác nhau.

Dạ cũng có thể anh, bởi vậy ở mấy bài viết trước em không hề nhắc tới việc nên giải thế nào, vì câu hỏi gốc không tập trung vào chuyện đó. Nhưng nhân tiện @nmlinh16 đưa ra lời giải thì em cũng đưa thêm một hướng giải khác để bổ sung.

 

Tuy nói 'câu hỏi gốc không tập trung vào lời giải', nhưng thực ra thì việc có lời giải chặt chẽ là rất liên quan đến câu hỏi ban đầu. Bởi vì nếu không biết được tập xác định (hay chính xác hơn là định nghĩa) thì sẽ dẫn đến giải không chặt chẽ, như ở bài viết đầu tiên của @Thegooobs.

 

Định nghĩa lại như @chanhquocnghiem đã làm là một giải pháp hợp lý.
Lâu nay ta vẫn sử dụng $(-1)^n$ để chỉ dấu phụ thuộc tính chẵn lẻ của $n$, mặc dù có định nghĩa cẩn thận đâu!

$(-1)^n$ nó là $n$ số $-1$ nhân với nhau, được định nghĩa cẩn thận rõ ràng trong SGK rồi anh Thanh à  

Đúng nó rồi đó em, cơ mà hiện tại vẫn đang bị lỗi chút xíu. Nếu trang nào có một công thức Toán bị hơi dài không tự xuống dòng được thì nó làm cho giao diện bị phình ra phía bên phải, như em thấy ở trên. Nếu bỏ thêm thời gian thì cũng tìm được giải pháp thôi, nhưng anh đã mất kha khá thời gian vào phần kĩ thuật rồi, giờ dành thời gian để lo những phần khác trước. Chờ vài tháng MathJax ra phiên bản mới có lẽ sẽ tự sửa luôn lỗi này, bên họ nói với anh vậy. 

@Thegooobs có thể làm như anh @nmlinh16 hướng dẫn ở trên, hoặc nếu không muốn xét dấu thì cứ dùng hàm trị tuyệt đối là được.

Vẫn còn một câu hỏi khá thú vị đấy: Làm sao để ra thẳng luôn được body như hoa khôi mà khỏi phải tút tát gì cả?

Tuy giải đã trao cho người xứng đáng rồi, nhưng mà xử lí được câu này thì cũng có thể ăn được cái giải phụ chứ nhỉ  

Ô may quá, vậy là cuối cùng đã tìm được nguyên nhân.
Anh hì hục mất mấy ngày mới làm xong được cái giao diện mobile, thế mà
@Nobodyv3 chẳng chịu dùng!

À không sao Hân à, cứ mạnh dạn đánh dấu trả lời bởi vì thành viên vẫn chưa có thói quen làm việc này. Chủ yếu anh hỏi để nếu chính @Thegooobs đánh dấu thì anh để nguyên vậy, còn nếu là ĐHV thì anh tạm thời bỏ đi để thảo luận xong rồi mới chọn sau. Hôm nay bận quá cứ ngồi gõ lắt nhắt một lúc lại phải dừng :\ 

 

Về tập xác định của hàm $x^{\alpha}$ thì có nhiều thứ hay ho để nói. Ở trên thầy @chanhquocnghiem có đưa ra định nghĩa bổ sung cho SGK, nhưng thực ra thì định nghĩa SGK như vậy là có lí do của nó cả. Hẹn hôm sau Nesbit thảo luận tiếp chi tiết hơn (trước mắt thì anh khuyên @Thegooobs nên theo SGK để tránh rắc rối nhé, tức là lời giải trên kia chưa chặt chẽ).