eLcouQTai

Tìm tất cả các sô nguyên dương n sao cho tồn tại n số nguyên dương liên tiếp có tổng là một số chính phương.

Viết 2017 số trên bảng: $-\frac{1008}{1008},-\frac{1007}{1008},...,-\frac{1}{1008},0,\frac{1}{1008},\frac{2}{1008},...,\frac{1007}{1008},\frac{1008}{1008}$

Chúng ta thực hiện quy trình sau: Xóa hai số bất kì trên bảng x, y, sau đó viết thêm số x+7xy+y. Sau 2016 bước còn lại một số. Hỏi số đó là gì? (HOMC 2017)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a²+b²+c²+abc=4. CMR:

                                                   $a+b+c\leq 3$

Với m, n là các số nguyên dương, và a là số nguyên dương khác 1 thì $gcd(a^{m}-1,a^{n}-1)=a^{gcd(m,n)}-1$

Cho hai số nguyên dương a, b sao cho 0<a²+b²-2017ab<2017. CMR:

     a²+b²-2017ab là số chính phương.

Tìm số tự nhiên $n$ de: $5^n+n^2+88$ là số chính phương.

Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc AB, AC lần lượt tại M, N. Vẽ đường trung bình DE song song AB. Đường phân giác góc B cắt DE tại P. CMR: M, N, P thẳng hàng.

Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn xy=ax+by. CMR:

                          $x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$

Cho điểm A cố định thuộc (O; R). Hai dây cung thay đổi AB, AC thỏa mãn AB.AC=3R^2. CM:

a) BC tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.

b) Xác định vị trí các dây AB, AC để diện tích tam giác ABC đạt Max.

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{2}-xy=2 & & \\ & &x^{3}=x+y\end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thay đổi trên cạnh BC sao cho $\angle BAD=\angle CAE$ (D nằm giữa B, E). Gọi K là hình chiếu của B trên AD, L là hình chiếu của C trên AE. Gọi M là trung điểm BC. CMR: đường tròn ngoại tiếp $\Delta MKL$ luôn đi qua một điểm cố định.

Tìm x, ý là các nguyên dương thỏa mãn:

                       $x^{4}+4x+1=5^{y}$

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;r), M là trung điểm của BC. Giao điểm của OM và đường cao AH là E. Chứng minh rằng AE=r.

Cho n+1 số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2n. CMR: Luôn chọn được ba số mà tổng hai số này bằng số kia.