gosh

 Nếu đoạn cuối thì xoay góc tí là ra thôi!

xoay em xem với ạ em xoay ko ra :3

Bài 13 https://khuongworldo...nh-hoc-hay.html

Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.

a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

b, Chứng minh tồn tại vô số số nguyên tố $p,q$ phân biệt thỏa $q \mid 2^{p-1}-1$ và $p \mid 2^{q-1}-1$.

b,

Bổ đề: 2 số Fermat phân biệt thì nguyên tố cùng nhau

Xét 2 số Fermat $F_{a}$ và $F_{a+b}$ với a,b nguyên dương 

Gọi $(F_{a},F_{b})=d$ thì $d \mid 2^{2^a}+1 \mid 2^{2^{a+b}}-1$ và $d \mid 2^{2^{a+b}}+1$

Suy ra $d \mid 2$ mà $F_{a}$ lẻ suy ra đpcm.

Trở lại bài toán:

Chọn $p$ là ước nguyên tố của $F_{n}$ và $q$ là ước nguyên tố của $F_{n-1}$

Theo bổ đề nên $p$,$q$ phân biệt

Theo câu a) suy ra $p-1=2^{n+2}a$ và $q-1=2^{n+1}b$ dễ dàng thấy $p,q$ thỏa mãn giả thiết

Do đó theo bổ đề tồn tại vô số số $p,q$ thỏa mãn.

Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.

a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

Bổ đề 1: $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2^{n}}+1$ , a là số tự nhiên, $a>1$ thì $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$)

Bổ đề 2: Nếu $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p \equiv 1$ (mod $8$) thì theo bổ đề 2 tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)

Trở lại bài toán:

Áp dụng bổ đề 1 suy ra  $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$) nên $p \equiv 1$ (mod $8$)

Suy ra tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)

Suy ra $(x^{2})^{2^{n}} \equiv 2^{2^{n}} \equiv -1$ (mod  $p$)

Suy ra $x^{2^{n+1}} \equiv -1$ (mod $p$)

Áp dụng lần nữa bổ đề 1 suy ra  $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).