phongmaths

Cho p nguyên tố lẻ dạng 3m+2.Chứng minh rằng $(-3)^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)(mod p)$

Cho các số không âm a, b, c không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức sau 

          $\frac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+ca}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ab}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng DE. K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng DE. L là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng DF. M,N theo thứ tự là trung điểm của DF,DE

1) CHứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng 

2)Chứng minh rằng MK//NL

3)Gọi P là trung điểm của BF. Lấy Q khác D và Q nằm trên (I) sao cho $\angle PQD =90^{\circ}$. CMR các đường thẳng MN,KL và QD đồng quy

ps: mn làm giúp mình ý 3

 Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. Tìm Max của 

$S=\frac{a}{b^{2}+c^2+a}+\frac{b}{c^2+a^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}$