TuAnh1611

Bài 1: Cho khai triển: $(1+x+x^2+x^3+...+x^{10})^{11} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110}$

Tính giá trị biểu thức $A=C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-C_{11}^{3}a_{3}+...+C_{11}^{10}a_{10}-C_{11}^{11}a_{11}$

Bài 2: Xét khai triển: $(1+x)(1+2x)...(1+2013x)= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{2013}x^{2013}$

Tính giá trị biểu thức $B=a_{2}+ \frac{1}{2}(1^2+2^2+...+2013^2)$

BÀI I:

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$  của hàm số $y=x^2+bx+1$ biết rằng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1)$

2. giải bất phương trình $\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2+x+1} \geq x+3$

BÀI II 

1. giải phương trình $\frac{4sin^3x-2cosx(sinx-1)-4sinx+1}{1+cos4x}=0$

2. giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}=\sqrt{y}+y & & \\ (y+\sqrt{xy}+x-x^2)(x+1)-4=0 & & \end{matrix}\right.$

BÀI III

1. cho $x,y,z$ là các số thực phân biệt không âm. chứng minh

$$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{z+y}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\geq \frac{9}{x+y+z}$$

2. Cho dãy số ($u_n$) xác định như sau $\left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=5 & & \\ u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n, \forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$ . tìm $lim(\frac{u_n}{3^n})$

BÀI IV:

1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh của lớp 11A, 3 học sinh của lớp 11B và 5 học sinh của lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau.

2.  Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC$ sao cho $AM=AN$ ( $M,N$ không trùng với các đỉnh của tam giác). Đường thẳng $d_1$ đi qua $A$ và vuông góc với $BN$ cắt cạnh $BC$ tại $H$ ($\frac{6}{5};{-2}{3}$), đường thẳng $d_2$ đi qua M và vuông góc với $BN$ cắt canh $BC$ tại K ($\frac{2}{5};\frac{2}{3}$). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết rằng đỉnh $A$ thuộc đường thẳng ($\delta$) : $5x+3y+13=0$ và có hoành độ dương

BÀI V

1. Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1$. Một mặt phẳng ($\alpha$) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A',B',C'$ CMR biểu thức $T=\frac{1}{SA'}+\frac{1}{SB'}+\frac{1}{SC'}$ luôn có giá trị không đổi

2. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một điểm M di động trên cạnh đáy BC ( M khác B,C). Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB và AC. Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi $(\alpha)$ và tìm vị trí của điểm M để thiết diện đó có diện tích lớn nhất

GIả sử $x \geq y \geq z \geq 0$

có $\frac{y+z}{(y-z)^2}\geq \frac{1}{y} $

$\Leftrightarrow y(y+z) \geq (y-z)^2 \Leftrightarrow z(3y-z) \geq 0$ (luôn đúng do $y \geq z \geq 0$)

có $\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{1}{x} $

$\Leftrightarrow x(z+x) \geq (z-x)^2 \Leftrightarrow z(3x-z) \geq 0$ (luôn đúng do $x \geq z \geq 0$)

Suy ra $\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2} \geq \frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Mà $z \geq 0$ nên $\frac{9}{x+y+z} \leq \frac{9}{x+y}$

Ta cần chứng minh: $\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{9}{x+y}$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}+(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 6$

$\Leftrightarrow \frac{4\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}-1)^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 6$

Đặt $\frac{x}{y}=t >0$

Khi đó $\frac{4t}{(t-1)^2}+t+\frac{1}{t} \geq 6$