Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Khoa Linh

Đăng ký: 22-10-2017
Offline Đăng nhập: 16-09-2019 - 18:18
****-

#723349 Đề thi tuyển sinh vào lớp 9 tạo nguồn tỉnh Bình Thuận năm học 2018 - 2019 môn...

Gửi bởi Khoa Linh trong 27-06-2019 - 10:22

 

 

b/ Chứng minh rằng nếu a và a2 + 2 là số nguyên tố thì a3 + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)

 

 

Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT. 




#723345 4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslan...

Gửi bởi Khoa Linh trong 27-06-2019 - 08:00

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$




#723320 Tiếp xúc với một đường tròn cố định

Gửi bởi Khoa Linh trong 25-06-2019 - 23:30

 Untitled.png

Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$. 

Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.

Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì  ta có $BX \perp CD$. 

Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.

Ta có: 

$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$. 

Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).

 

P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với  mình. Mong bạn hiểu bài giải này.




#723318 Chứng minh rằng HC=HK

Gửi bởi Khoa Linh trong 25-06-2019 - 22:37

Anh làm thử em xem được ko ạ.Tiếng anh em hơi kém  :D  :D

Capture.PNG




#722144 ĐỀ THI OLYMPIC KHTN NĂM 2019

Gửi bởi Khoa Linh trong 11-05-2019 - 23:46

   TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.

 

Câu 2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=k$ và $u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n}$, với mọi $n \in  \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương. 

 

Câu 3. Cho tam giác  $ABC$, giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$.  $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại  $N$. 

        1. Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi. 

        2. Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc  $\angle MPN$. 

 

Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có 

$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$

 

--------HẾT NGÀY 1--------

 

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ hai

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$

 

Câu 6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$. 

 

Câu 7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu? 

 

--------HẾT NGÀY 2--------




#721352 Chứng minh $BCED$ nội tiếp

Gửi bởi Khoa Linh trong 11-04-2019 - 20:32

Kẻ tiếp tuyến $Mx$ của $(O)$. Khi đó ta có $\angle CED=\angle CMx=\angle DBC \Rightarrow BCDE$ nội tiếp. 




#720378 $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt...

Gửi bởi Khoa Linh trong 21-02-2019 - 16:45

Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng 

 

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$




#720364 $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Gửi bởi Khoa Linh trong 20-02-2019 - 23:16

Cho x,y,z >0 chứng minh rằng: $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Bạn nhân hết ra thôi 

 

$(1+x)(1+y)(1+z)=xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\geq xyz+3\sqrt{(xyz)^2}+3\sqrt{xyz}+1=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$




#720363 Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc Tìm GTNN của $P=\frac{a-2...

Gửi bởi Khoa Linh trong 20-02-2019 - 23:03

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. 

Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)

Cho các số $0<a,b,c<1$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+\dfrac{b^2(1-2c)}{c}+\dfrac{c^2(1-2a)}{a}$
 
Lời giải(Nguyễn Đăng Khoa)
 
Ta có:
 
$A=\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a}-(a^2+b^2+c^2)$.
 
Vì $0<a,b,c<1$ nên $1-a,1-b,1-c>0$ và $a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)>0$.
 
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
 
$\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a} \geq \dfrac{\left [a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)  \right ]^2}{b(1-b)+c(1-c)+a(1-a)}=\dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}$
 
Suy ra $A \geq \dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}+\left [a+b+c-(a^2+b^2+c^2)  \right ]-(a+b+c)$
 
$ \geq 2(a+b+c-1) -(a+b+c)=a+b+c-2 \geq \sqrt{3}-2 $ (AM-GM)



#720289 $ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 13:17

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

 

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)

Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$.  (2)

Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)

Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)

Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)

Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).

Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in  \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)

Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có 

$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)

 

Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in  \mathbb{Q}.$ 




#720283 $M$ là trung điểm $PQ$

Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 08:40

Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.

Chứng minh. 

Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$. 

 
Ta có $\angle IXY=\angle IFY=\angle IXZ=\angle IEZ=90^{\circ}$ 
 
Suy ra tứ giác $XYFI$ và $XEZI$ nội tiếp 
 
Từ đó ta có $\angle IYX=\angle IFX=\angle IEX=\angle IZX \Rightarrow XY=XZ$.
 
Suy ra ta có $AX$ đi qua trung điểm $BC$.
 
Vậy bổ đề được chứng minh. 
 
Ta quay lại bài toán ban đầu. 
Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với ba cạnh $BC,CA,AB$. 
 
Lấy $Z$ là giao điểm $DI$ với $EF$. Khi đó theo bổ đề ta có $Z$ nằm trên $KL$ và theo tính chất đối xứng thì ta cũng có $X,Y,Z$ thẳng hàng. 
 
$AX$ cắt $YL$ tại $Y'$.
 
Ta thấy tứ giác $KELF$ là tứ giác điều hòa nên ta có 
 
$X(K,L;Y',Y)=X(K,L;A,L)=-1$
 
Mặt khác $XK \parallel YY'$ nên ta có $L$ là trung điểm $YY'$. 
 
Suy ra $M$ là trung điểm $PQ$ hay ta có $BP=CQ$.
 



#720282 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).BA cắt CD tại F,AC cắt BD tại E.Gọi...

Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 08:29

Đây là đường thẳng Gauss nhé bạn, bạn đọc trong NC và PT cũng có. 




#719832 KẾT QUẢ THI HSGQG năm 2019

Gửi bởi Khoa Linh trong 31-01-2019 - 21:58

link kết quả của các tỉnh

https://drive.google...l2D5EroBAHGaOnA




#717342 $\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}...

Gửi bởi Khoa Linh trong 09-11-2018 - 21:36

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 




#717175 Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. CMR: $\frac{a+bc}...

Gửi bởi Khoa Linh trong 03-11-2018 - 20:46

$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc)}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

Đến đây sử dụng BĐT $\sum \frac{xy}{z}\geq x+y+z$ là xong.