Đến nội dung

Khoa Linh

Khoa Linh

Đăng ký: 22-10-2017
Offline Đăng nhập: 07-08-2019 - 22:41
****-

#716885 $5^p+p^3$

Gửi bởi Khoa Linh trong 25-10-2018 - 00:27

Tìm số nguyên tố $p$ để $5^p+p^3$ là số chính phương.




#716737 $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+...

Gửi bởi Khoa Linh trong 19-10-2018 - 22:55

1) Viết lại bất đẳng thức dưới dạng 

$\sum \frac{bc}{3a+3bc} \leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a^2+ab+ac+3bc}\leq \frac{1}{2}$

Để ý ta có BĐT quen thuộc $\sum \frac{bc}{a^2+2bc}\leq 1\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq 1$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Suy ra $\sum \frac{bc}{a^2+2bc+(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{bc}{a^2+2bc}+ \sum \frac{bc}{ab+bc+ca}\right )\leq \frac{1}{2}$




#716725 Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{2...

Gửi bởi Khoa Linh trong 19-10-2018 - 20:07

Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$

Đặt $x=ty(t>0)$. Ta có:

$A=\dfrac{(t+1)^3}{t}$.

$\left (t+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}  \right )^3\geq \frac{27}{4}t\Rightarrow A\geq \frac{27}{4}$




#716712 Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{2...

Gửi bởi Khoa Linh trong 19-10-2018 - 11:24

Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{2}}{xy^{2}}$

Cái này không có GTNN nhé bạn. Để ý trên tử là bậc 2, dưới mẫu là bậc 3. 

Cho $x=y$ thì $A=\dfrac{4x^2}{x^3}$. Khi cho $x$ càng lớn thì $A$ càng nhỏ. bạn xem lại đề nhé 




#716711 $\text{F},\,\text{A},\,\tex...

Gửi bởi Khoa Linh trong 19-10-2018 - 11:16

$AN$ cắt $BC$ tại $F$. Ta sẽ chứng minh $FM$ là tiếp tuyến.  $EN$ cắt $CM$ tại $J$, $AI$ cắt $BC$ tại $J$.  $MN$ cắt $BC$ tại $K$.

 

Ta có $\angle DIE=\angle DCB=\angle DAE \Rightarrow DEIA$ nội tiếp nên $\triangle BDE \sim  \triangle CAI (g.g)$

$\Rightarrow \angle BDE= \angle CAI$. (1)

 

Mặt khác $\dfrac{BF}{FJ}=\dfrac{EN}{NI}=\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BM}{MA} \Rightarrow MF \parallel AI $.

Suy ra $ \angle FMN =\angle IAC$ (hai góc có hai cạnh tương ứng song song). (2)

Từ (1) và (2) kết hợp $\angle BDM=\angle EMN=\angle ABC$  ta có 

 $ \angle FMN =\angle BDE \Leftrightarrow \angle BDM -  \angle BDE = \angle EMN -\angle FMN \Rightarrow \angle EDM= \angle EMF$.

Suy ra $MF$ là tiếp tuyến $(EDM)$. 

 

p/s: Diễn đàn dạo này buồn quá, cũng chả buồn lên check :(

 

Hình gửi kèm

  • vmf2.png



#716077 $\angle KAD= \angle LAE$

Gửi bởi Khoa Linh trong 27-09-2018 - 22:59

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Kẻ cát tuyến $ADE$, một  đường thẳng song song với $DE$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $M,N,P,Q$ (như hình vẽ). $EN$ cắt $DM$ tại $K$, $DP$ cắt $EQ$ tại $L$. Chứng minh rằng $\angle KAD= \angle LAE$.

 

Hình gửi kèm

  • anhhieus.png



#715768 $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca...

Gửi bởi Khoa Linh trong 20-09-2018 - 13:00

Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \geq ab+bc+ca$




#715705 ĐỀ THI CHỌN HSGQG TỈNH PHÚ THỌ

Gửi bởi Khoa Linh trong 18-09-2018 - 21:39

                 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH PHÚ THỌ- NĂM HỌC: 2018-2019.

 

 

Bài 1: Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi: $a_1=a_2=1,a_3=2$ và $a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n}$ với mọi số nguyên dương $n$.

a) Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.

b) Tìm giới hạn: $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{2n+2}a_{2n}+a_{2n+1}^2}{a_{2n}a_{2n+1}}$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $AD,CF$ với $(I)$. Chứng minh rằng: $\frac{MN.FD}{MF.ND}=3$.

Bài 3: 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 4: Một bảng ô vuông $ABCD$ kích thước $2018x2018$ gồm $2018^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số $-1,0,1$. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được điển số $-1$ và mỗi cặp ô đối xứng  qua $AC$ được điền cùng một số $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1,a_2,...,a_{2018}$ ở hàng thứ nhất, $b_1,b_2,...,b_{2018}$ ở hàng thứ hai sao cho $S=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2018}b_{2018}$ là một số chẵn. 

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.

b) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.

Bài 6: Cho dãy số thực $(x_n)_{n\ge 0}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) $x_n=0$ khi và chỉ khi $n=0$.

b) $x_{n+1}=x_{[\frac{n+3}{2}]}^2+(-1)^n.x_{[\frac{n}{2}]}^2$ với mọi $n\ge 0$.

(Kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.

Bài 7: Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APB,CPD$ cắt cạnh $BC$ theo thứ tự tại $E,F$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABE,CDF$; hai đoạn thẳng $BJ$ và $CI$ cắt nhau tại $Q$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ cắt đoan thẳng $BD$ tại $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DJC$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $N$.

a) Chứng minh : $BIJC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba đường thẳng $IM,JN,PQ$ đồng quy.




#715408 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ...

Gửi bởi Khoa Linh trong 11-09-2018 - 06:03

Nguồn: thầy Nguyễn Lê Phước

Hình gửi kèm

  • FB_IMG_15366203497205636.jpg



#715228 $2^{2003}-1$

Gửi bởi Khoa Linh trong 05-09-2018 - 20:44

$2^{2003}-1$  là số nguyên tố hay hợp số, tại sao ? 




#715116 $\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt...

Gửi bởi Khoa Linh trong 03-09-2018 - 07:33

Cho $a,b,c \geq0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}+ab+bc+ca\geq 2+\sqrt{2}$




#715077 ĐỀ THI CHỌN ĐT QUỐC GIA TP HÒA BÌNH ( NGÀY 2 )

Gửi bởi Khoa Linh trong 01-09-2018 - 23:48

$Câu 1 : (5 điểm )$ , Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B$. $CD$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$  với $C$ thuộc $(O)$ , $D$ thuộc $(O)$ , và $B$ gần $CD$ hơn $A$ 

a) Gọi $E$ là giao điểm của $BC$ và $AD$ , $F$ là giao điểm của $DB$ và $AC$  , chứng minh rằng  $EF$ song song với $CD$

b)Gọi $N$ là giao điểm của $AB$ và $EF$ , Lấy $K$ trên $CD$ sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{DAK}$ . Chứng minh rằng $KE=KF$

 

$Câu 2 : (5 điểm )$  : Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ và $Q(x)=x^2 +px+q$ cùng thuộc $\mathbb{Q}[x]$ . Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng $I$ có độ dài lớn hơn hai và ngoài khoảng $I$ chúng đều nhận giá trị không âm . Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in \mathbb{R}$ đề $P(x_{o})<Q(x_{o})$

 

$Câu 3: ( 5 điểm )$ :Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} x_{o}=1\\ x_{1}=41\\ x_{n+2}= 3x_{n}+\sqrt{8(x_{n+1}^2+x_{n}^2)} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

 

$Câu 4 : ( 5 điểm )$ Cho tập hơp $A=({-1;0;1})$ , tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};....;a_{n})$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :ư

$i) a_{i}\in A ,\forall i=1,2,3,4,.....$

$ii)a_{i}-a_{i-1} \in A , \forall i=1,2,3,4....$

Bài 3

 
Note that $x_2=119\in\mathbb N$
 
$x_{n+2}=3x_n+\sqrt{8(x_{n+1}^2+x_n^2)}$ $\implies$ $x_{n+2}^2-6x_nx_{n+2}+9x_n^2=8(x_{n+1}^2+x_n^2)$
 
$\implies$ $9x_{n+2}^2-6x_nx_{n+2}+x_n^2=8(x_{n+2}^2+x_{n+1}^2)$
 
$\implies$ $3x_{n+2}-x_n=\sqrt{8(x_{n+2}^2+x_{n+1}^2)}$ (since trivially $x_{n+2}\ge \frac{x_n}3$)
 
$\implies$ $3x_{n+2}-x_n=x_{n+3}-3x_{n+1}$
 
And so $x_{n+3}=3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_n$
And since $x_0,x_1,x_2\in\mathbb N$, this ends the required proof
(AOPS)



#715053 $\frac{PB}{AB}=\frac{PC}{AC...

Gửi bởi Khoa Linh trong 01-09-2018 - 20:08

Cho tam giác $ABC$, $P$ là một điểm trong tam giác, hình chiếu của $P$

lên $BC, CA, AB$ lần lượt là $A', B', C'$. Giả sử $A'B'=A'C$. Chứng minh rằng $\frac{PB}{AB}=\frac{PC}{AC}$

 attachicon.gifdáiodjoáid.jpg

Ta có: 

$A'PC'B$ nội tiếp có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{PB}{2}$

Theo định lí sin thì ta có: $A'C'=\frac{PB}{2}.sinB$
Tương tự thì ta rút ra được: $\frac{PB}{PC}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$




#714911 $U_n=\left (1+\frac{1}{n} \right )^...

Gửi bởi Khoa Linh trong 28-08-2018 - 22:38

Mình đã cố gắng hết sức dùng bđt mà ko thành, đành phải xét hàm thôi

Capturec35b94e2d4e90a0c.png

Em vừa nghĩ ra cách giải khác 

Ta đi chứng minh: $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}>\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+2}\Leftrightarrow (n+1)^{2n+3}>n^{n+1}.(n+2)^{n+2}$

$\Leftrightarrow (n(n+2)+1)^{n+1}.(n+1)>(n(n+2))^{n+1}.(n+2)\Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Áp dụng  BĐT Bernoulli ta có: 

$\left ( 1+\frac{1}{n(n+2)} \right )^{n+1}>1+\frac{n+1}{n(n+2)}$

vậy ta cần chứng minh: $\frac{n+1}{n(n+2)}>\frac{1}{n+1}\Leftrightarrow (n+1)^2>n(n+2)$ (đúng)




#714771 [TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

Gửi bởi Khoa Linh trong 25-08-2018 - 13:54

Sau một mùa hè tôi và bạn Tạ Công Hoàng (taconghoang) đã tổng hợp thành 1 file tài liệu:

https://khoalinhmath...thi-lop-10.html