Khoa Linh

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

 

Bài 6: 

$\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3x}{2} \Leftrightarrow \frac{x^3}{y+1}\geq \frac{3x}{2}-\frac{y}{4}-\frac{3}{4} \Rightarrow \sum_{cyc}^{x,y,z}\frac{x^3}{y+1}\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$

Bài 1: Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn: $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 1} + y) = 1$. Tính $x + y$.

 

Bài 2: Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình: $\sqrt{2}x^2 + x - 1 = 0$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $C = \frac{2a - 3}{\sqrt{2(2a^4 - 2a + 3)} + 2a^2}$.

 

Bài 3: Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$.

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1 + a} + \frac{\sqrt{b}}{1 + b} + \frac{\sqrt{c}}{1 + c} = \frac{2}{\sqrt{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$.

 

Bài 4: Cho các số $a, b, c, d, A, B, C,D$ dương thỏa mãn $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{aA} + \sqrt{bB} + \sqrt{cC} + \sqrt{dD} = \sqrt{(a + b + c + d)(A + B + C + D)}$.

Bài 4 đặt ẩn phụ k thôi :

Bài 1: Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn: $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 1} + y) = 1$. Tính $x + y$.

 

Bài 2: Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình: $\sqrt{2}x^2 + x - 1 = 0$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $C = \frac{2a - 3}{\sqrt{2(2a^4 - 2a + 3)} + 2a^2}$.

 

Bài 3: Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$.

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1 + a} + \frac{\sqrt{b}}{1 + b} + \frac{\sqrt{c}}{1 + c} = \frac{2}{\sqrt{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$.

 

Bài 4: Cho các số $a, b, c, d, A, B, C,D$ dương thỏa mãn $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{aA} + \sqrt{bB} + \sqrt{cC} + \sqrt{dD} = \sqrt{(a + b + c + d)(A + B + C + D)}$.

bài 1:

bài 2:

vì $\sqrt{x}+1>0$

nên để $\frac{\sqrt{x}+1}{3(\sqrt{x}-1)}>0$ thì $3(\sqrt{x}-1$>0

=> x>1

ta có:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>3 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}-1}>2\Leftrightarrow 0<\sqrt{x}-1<1 =>0<x<4$

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P= \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)}+ \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-d)} + \frac{abcd}{(1-a)(1-d)(1-c)} + \frac{abcd}{(1-d)(1-b)(1-c)} $$

Quy đồng và dùng BĐT Cauchy 3 số:

$P=abcd\sum \frac{1}{(1-a)(1-b)(1-c)}=abcd.\frac{3}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)} =3.\frac{abcd}{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}\leq 3.\frac{abc}{81abc}=\frac{1}{27}$

Bạn trình bày giúp mình với

Mình biết lm chiều thuận thôi 
cho ABC=120 độ r chứng minh vuông góc:

 tam giác ABM có BN là đường phân giác trong, AN là phân giác ngoài nên MN cx là phân giác ngoài, tức MN là tia phân giác góc AMC. Tương tự MP là tia phân giác góc AMB -> MN _|_ MP.

$\frac{a^{2}}{x}$ +$\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ $\geq$ $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$

Áp dụng Bunhia ta có:

(a^2/x+b^2/y+c^2/z)(x+y+z)>=(a+b+c)^2 

=> đpcm 

Cho Δ ABC.AM,BN,CP là các đường phân giác trong.Tìm số đo góc BAC để PM vuông góc NM

120 độ

Tìm x, y biết x - y = x/2y

2 ẩn như vậy tìm sao được bạn ??
bạn xem lại đề 

Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$. Tìm GTNN của biểu thức

P = $xy + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Câu 2: Xét các số thực  $x, y$  thỏa mãn $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2}(x + y)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Câu 3: Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $x - \sqrt{x + 6} = \sqrt{y + 6} - y$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Max câu 2, 3

Câu 2:

$\sqrt{2(x+1)}+\sqrt{2(y+1)}=2(x+y)\leq \frac{x+3}{2}+\frac{y+3}{2} => x+y<=2$

Câu 3:

$x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6} <=> 3(x+y)=\sqrt{9(x+6)}+\sqrt{9(y+6)}\leq \frac{x+15}{2}+\frac{y+15}{2} <=> x+y\leq 6$

Cho 0<x<1. Chứng minh rằng:

$x+\frac{1}{x^{x}}<2$

Theo công thức thì mình tính được vế trái:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})^3 = x + y + z + 3(\sqrt[3]{x^2y} + \sqrt[3]{xy^2} + \sqrt[3]{y^2z} + \sqrt[3]{yz^2} + \sqrt[3]{x^2z} + \sqrt[3]{xz^2} + \sqrt[3]{xyz})$.

Làm thế nào để ra được như thế kia vậy bạn ?

Cái đấy là HĐT đáng nhớ mà bạn 

nếu bạn không biết cách nhóm thì bạn xem ở đây:

https://diendantoanh...3a3b3c33abbcca/

Chứng minh rằng nếu $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a + b + c}$ thì:

$\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a + b + c}$ (với $n \in N$, $n$ lẻ).

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{x+y+z}$

Lập phương 2 vế ta có:

$x+y+z+3\left ( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} \right )( \sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})( \sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x})=x+y+z$

Suy ra x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Thay vào ra điều phải chứng minh 

Bước $\sqrt{c.c.b}+\sqrt{a.c.c}+\sqrt{b.b.a} \leq \frac{c+c+b+a+c+c+b+b+a}{3}$ không đúng rồi bạn ạ.

Phải là căn bậc 3 mới áp dụng được BĐT AM-GM ở đây.

 

BĐT này sai rồi. Với $a=b=c=2$, $\frac{1}{a^2+b}+\frac{1}{b^2+c}+\frac{1}{c^2+a}=\frac{1}{2}$, $\frac{a+b+c}{2abc}=\frac{3}{8}$

sorry mình nhầm

$C/m: \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức trên đúng vì theo AM-GM 3 số