dottoantap

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau

Số các số tự nhiên có 5 csố phân biệt được lập từ tập đã cho và không có ràng buộc nào khác:

$6.6.5.4.3= 2160$

Số cách ghép 2 csố 2 và 5 thành 1 phần tử: $2!$

Số các số có 3 csố phân biệt được lập từ tập $\left \{ 0,1,3,4,6 \right \}$ là $4.4.3$, giữa các số này có 4 khoảng trống$\rightarrow$ số các số có 5 csố phân biệt có csố 2 và 5 :

$C_{4}^{1}.2!.4.4.3=384$

Số các số thỏa yc:

$2160-384=1776$

Có ba khách hàng đi vào một ngân hàng có sáu quầy phục vụ. Tính xác suất để:
a. Có 3 khách hàng đến quầy số 5
b. Cả 3 khách hàng cùng đế một quầy
c. Người đến một quầy khác nhau
d. Hai trong ba người đến cùng một quầy
e. Chỉ một khách đến quầy số 1

a. Có 3 khách hàng đến quầy số 5

Số phần tử KGM: $\left | \Omega \right |=6^{3}$

Chỉ có $1$ cách để 3 khách hàng đến quầy số 5 $\Rightarrow P\left ( a \right )=\frac{1}{6^{3}}$

b. Cả 3 khách hàng cùng đế một quầy

Chọn quầy: $C_{6}^{1}\Rightarrow P\left ( b \right )=\frac{C_{6}^{1}}{6^{3}}$

c. Mỗi người đến một quầy khác nhau

Số cách để mỗi người đến một quầy: $A_{6}^{3}\Rightarrow P\left ( c \right )=\frac{A_{6}^{3}}{6^{3}}$

d. Hai trong ba người đến cùng một quầy

Chọn 2 người:  $C_{3}^{1}$ ; chọn quầy: $C_{6}^{1}$; người thứ 3 chọn quầy: $C_{5}^{1}\Rightarrow P\left ( d \right )=\frac{C_{3}^{1}C_{6}^{1}C_{5}^{1}}{6^{3}}$

e. Chỉ một khách đến quầy số 1

Chọn người đến quầy số 1:  $C_{3}^{1}$  ; 2 người còn lại chọn quầy: $5^{2}\Rightarrow P\left ( e \right )=\frac{C_{3}^{1}.5^{2}}{6^{3}}$

Có 8 toa tàu, 20 khách. Có bn cách để mỗi toa có ít nhất 2 người

$C_{20}^{2}C_{18}^{2}C_{16}^{2}C_{14}^{2}C_{12}^{2}C_{10}^{2}C_{8}^{2}C_{6}^{2}.8^{4}$

Có 2 cuốn sách văn, 4 cuốn sách toán và 6 cuốn sách anh văn được xếp vào một kệ nằm ngang.

Có bao nhiêu cách sắp xếp để các cuốn cùng môn không đứng cạnh nhau.

Ta xem các sách cùng một môn cũng phân biệt.

Áp dụng nguyên lý bù trừ để lập hàm sinh cho cách xếp sách cùng một môn:

- 2 sách Văn: $2!\left ( \frac{x^{2}}{2!} -C_{1}^{1}.x\right )$

- 4 sách Toán: $ 4!\left ( \frac{x^{4}}{4!}-C_{3}^{1}\frac{x^{3}}{3!}+C_{3}^{2}\frac{x^{2}}{2!} -C_{3}^{3}.x\right )$

- 6 sách Anh văn: $6!\left ( \frac{x^{6}}{6!}-C_{5}^{1}\frac{x^{5}}{5!}+C_{5}^{2}\frac{x^{4}}{4!}-C_{5}^{3}\frac{x^{3}}{3!}+C_{5}^{4}\frac{x^{2}}{2!} -C_{5}^{5}.x\right )$

Ta có hàm sinh cho cách xếp sách lên kệ:

$G\left ( x \right )=69120\left ( \frac{x^{2}}{4} -x\right )\left ( \frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{3}}{2}+3\frac{x^{2}}{2} -x\right )\left ( \frac{x^{6}}{720}-24x^{5}+5\frac{x^{4}}{12}-5\frac{x^{3}}{3}+5\frac{x^{2}}{2} -x\right )$

Khai triển:

Gọi $a_1,a_2,...,a_8$ lần lượt là số khách trên $8$ toa tàu. Ta có: $a_i\ge 2(i=\overline{1,8})$.

Theo đề $a_1+a_2+...+a_8=20$.

Đặt $t_i=a_i-2\implies t_i\ge 0(i=\overline{1,8})$.

Khi đó ta có: $t_1+t_2+...+t_8=4$.

Áp dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler, ta có số nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho là $C_{4+8-1}^{8-1}=C_{11}^{7}$.

Vậy đáp án của bài toán là: $C_{11}^{7}$.

Bạn có thể tham khảo bài toán chia kẹo Euler tại đây:

+Bài toán chia kẹo của Euler.pdf

Cẩn thận ! Bài này không thể áp dụng kết quả bài toán chia kẹo vì các hành khách là phân biệt.