Đến nội dung

dottoantap

dottoantap

Đăng ký: 24-10-2017
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

#724533 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi...

Gửi bởi dottoantap trong 07-08-2019 - 09:18

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau

Số các số tự nhiên có 5 csố phân biệt được lập từ tập đã cho và không có ràng buộc nào khác:

$6.6.5.4.3= 2160$

Số cách ghép 2 csố 2 và 5 thành 1 phần tử: $2!$

Số các số có 3 csố phân biệt được lập từ tập $\left \{ 0,1,3,4,6 \right \}$ là $4.4.3$, giữa các số này có 4 khoảng trống$\rightarrow$ số các số có 5 csố phân biệt có csố 2 và 5 :

$C_{4}^{1}.2!.4.4.3=384$

Số các số thỏa yc:

$2160-384=1776$




#723292 Sắp xếp sách

Gửi bởi dottoantap trong 25-06-2019 - 09:30

Có 2 cuốn sách văn, 4 cuốn sách toán và 6 cuốn sách anh văn được xếp vào một kệ nằm ngang.

Có bao nhiêu cách sắp xếp để các cuốn cùng môn không đứng cạnh nhau.

Ta xem các sách cùng một môn cũng phân biệt.

Áp dụng nguyên lý bù trừ để lập hàm sinh cho cách xếp sách cùng một môn:

- 2 sách Văn: $2!\left ( \frac{x^{2}}{2!} -C_{1}^{1}.x\right )$

- 4 sách Toán: $ 4!\left ( \frac{x^{4}}{4!}-C_{3}^{1}\frac{x^{3}}{3!}+C_{3}^{2}\frac{x^{2}}{2!} -C_{3}^{3}.x\right )$

- 6 sách Anh văn: $6!\left ( \frac{x^{6}}{6!}-C_{5}^{1}\frac{x^{5}}{5!}+C_{5}^{2}\frac{x^{4}}{4!}-C_{5}^{3}\frac{x^{3}}{3!}+C_{5}^{4}\frac{x^{2}}{2!} -C_{5}^{5}.x\right )$

Ta có hàm sinh cho cách xếp sách lên kệ:

$G\left ( x \right )=69120\left ( \frac{x^{2}}{4} -x\right )\left ( \frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{3}}{2}+3\frac{x^{2}}{2} -x\right )\left ( \frac{x^{6}}{720}-24x^{5}+5\frac{x^{4}}{12}-5\frac{x^{3}}{3}+5\frac{x^{2}}{2} -x\right )$

Khai triển:

$G\left ( x \right )=x^{12}-44x^{11}+780x^{10}-7296x^{9}+39528x^{8}-128160x^{7}+247680x^{6}-273600x^{5}+155520x^{4}-34560x^{3}$
Thay $x^{k}$ bằng $k!$ ta có số cách xếp sách lên kệ thỏa yêu cầu:
$12!-44.11!+780.10!-7296.9!+39528.8!-128160.7!+247680.6!-273600.5!+155520.4!-34560.3!= 2419200 \text{ cách}$



#722961 Xếp khách vào toa

Gửi bởi dottoantap trong 11-06-2019 - 08:52

Gọi $a_1,a_2,...,a_8$ lần lượt là số khách trên $8$ toa tàu. Ta có: $a_i\ge 2(i=\overline{1,8})$.

Theo đề $a_1+a_2+...+a_8=20$.

Đặt $t_i=a_i-2\implies t_i\ge 0(i=\overline{1,8})$.

Khi đó ta có: $t_1+t_2+...+t_8=4$.

Áp dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler, ta có số nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho là $C_{4+8-1}^{8-1}=C_{11}^{7}$.

Vậy đáp án của bài toán là: $C_{11}^{7}$.

Bạn có thể tham khảo bài toán chia kẹo Euler tại đây:

+attachicon.gifBài toán chia kẹo của Euler.pdf

Cẩn thận ! Bài này không thể áp dụng kết quả bài toán chia kẹo vì các hành khách là phân biệt.




#722926 Tổ hợp-đếm số

Gửi bởi dottoantap trong 10-06-2019 - 12:44

1. Có bn số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn

2. Từ 4 chữ số 2,3,4,5 có thể tạo ra đc bn số có 6 chữ số trong đó có mặt đủ 4 số trên

Mong các bạn giúp mình 2 bài toán trên, xin cảm ơn!

Bài 2: Đặt :

$S$ là tập các số thỏa đề bài.

$X$ là tập các số có 6 csố được lập từ các csố đã cho$\rightarrow \left | X \right |=4^{6}$.

$A_{i}$ là tập các số $\in X$ mà không có c số $i$ với $i=2,3,4,5$.

Ta có:

$\left | S \right |=\left | X \right |-\left | A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5} \right |$

Theo nguyên lý bù trừ:

$\left | A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5} \right |=\left | A_{2} \right |+\left | A_{3} \right |+\left | A_{4} \right |+\left | A_{5} \right |-\left ( \left | A_{2}\cap A_{3} \right |+\left | A_{2}\cap A_{4} \right |+\left | A_{2}\cap A_{5} \right |+\left | A_{3}\cap A_{4} \right |+\left | A_{3}\cap A_{5} \right |+\left | A_{4}\cap A_{5} \right | \right )+\left | A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4} \right |+ \left | A_{2}\cap A_{3}\cap A_{5} \right |+\left | A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5} \right |+ \left | A_{2}\cap A_{4}\cap A_{5} \right |-\left | A_{2}\cap A_{3} \cap A_{4}\cap A_{5} \right |$

mà:

$\left | A_{2} \right |=\left | A_{3} \right |=\left | A_{4} \right |=\left | A_{5} \right |=3^{6}$

$\left | A_{2}\cap A_{3} \right |=\left | A_{2}\cap A_{4} \right |=\left | A_{2}\cap A_{5} \right |=\left | A_{3}\cap A_{4} \right |=\left | A_{3}\cap A_{5} \right |=\left | A_{4}\cap A_{5} \right |=2^{6}$

$\left | A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4} \right |= \left | A_{2}\cap A_{3}\cap A_{5} \right |=\left | A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5} \right |= \left | A_{2}\cap A_{4}\cap A_{5} \right |=1$

$\left | A_{2}\cap A_{3} \cap A_{4}\cap A_{5} \right |=0$

Số các số thỏa yêu cầu:

$\left | S \right |=4^{6}-4.3^{6}+6.2^{6}-4.1= \boxed {1560}$

 

Bài 1 ( TH các chữ số đôi một khác nhau):

Nhận xét: Dễ thấy các số thỏa yêu cầu phải có $2$ hoặc $4$ c số lẻ.

a/ Có $2$ c số lẻ: 

có : $C_{5}^{2}.6.6!=43200$ số

b/ Có $4$ c số lẻ, phân làm 2 tiểu trường hợp:

b1/ Không có c số $0$:

có $C_{5}^{4}.C_{4}^{3}.7!=100800$ số

b2/ Có c số $0$:

có $6.C_{5}^{4}.C_{4}^{2}.6!=129600$ số

Vậy số các số thỏa yc đề bài là:

$43200+100800+129600=\boxed {273600}$




#722295 S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt...

Gửi bởi dottoantap trong 16-05-2019 - 17:44

Em đã dùng từ không đúng mà lại đặt ở vị trí "nhạy cảm " trong câu; bây giờ đọc lại, em cũng nghĩ như anh. Có lẽ, dùng từ "tương tự " thì dễ chấp nhận hơn nhỉ?
Cám ơn anh rất nhiều.


#722263 S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt...

Gửi bởi dottoantap trong 15-05-2019 - 14:57

Thật ngưỡng mộ anh!

Em xin trình bày, mong anh cho ý kiến. Và sử dụng dữ liệu anh đã viết, ta có phương trình mới:

$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$

Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.

Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.

Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:

Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$

Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$

$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị  $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.




#722209 S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt...

Gửi bởi dottoantap trong 14-05-2019 - 11:13

Bài cuối nhé!

Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.




#722100 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia...

Gửi bởi dottoantap trong 10-05-2019 - 14:03

Một cách giải khác, dùng hàm sinh:

Lập hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:

$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{x(1-x^{9})\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{(1-x)^{4}}$

Đáp số là tổng các hệ số của các $x^{4k}$ với $k=\overline{1,9}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $G(x)$, ta được:

$G(x)=20x^{4}+120x^{8}+342x^{12}+564x^{16}+597x^{20}+405x^{24}+165x^{28}+35x^{32}+x^{36}$

Vậy số các số thỏa yc là:

$20+120+342+564+597+405+165+35+1= \boxed{2249}$

 




#721954 Xác suất với 5 chữ số

Gửi bởi dottoantap trong 05-05-2019 - 12:54

Lấy ngãu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chon được số tự niên có dạng $\overline{abcde}$ mà $a\geq b> c-3\geq d\geq e-2$

Đặt $ c^{'}=c-3$ và $ e^{'}=e-2$. Ta thấy vì $b\leq 9\rightarrow c^{'}\leq 8$, nhưng do $c\leq 9$ nên $ c^{'}\leq 6$ và dễ thấy $0\leq e^{'}\leq 6$ . Vậy ta có $6\geq c^{'}\geq d\geq e^{'}\geq 0$.
Nhận thấy rằng:
Với $c^{'}=6$ thì $a,b\in \left \{ 7,8,9 \right \}$ và $ d,e^{'}\in \left \{ 0,1,...,6 \right \}\rightarrow$ dùng công thức tính số tổ hợp lặp, ta có số các số thỏa yc là $C_{4}^{2}.C_{8}^{2}$.
.....................
Tương tự, với $c^{'}=0$ thì $a,b\in \left \{ 1,2,...,9 \right \}$ và $ d,e^{'}\in \left \{ 0 \right \}\rightarrow$ số các số thỏa yc là $C_{10}^{2}.C_{2}^{2}$.
Như vậy, nếu cho $k$ nguyên chạy từ $0$ đến $6$ thì tổng số các số thỏa yc đề bài là $S=\sum_{k=0}^{6}C_{10-k}^{2}.C_{2+k}^{2}$.
XS cần tìm:
$P=\frac{S}{\left | \Omega \right |}=\frac{\sum_{k=0}^{6}C_{10-k}^{2}.C_{2+k}^{2}}{9.10^{4}}=\frac{1134}{9.10^{4}}=\frac{63}{5000}$

Ghi chú: Các tập được đề cập trong bài là các đa tập (multisets).


#721499 Phải lấy ngẫu nhiên bao nhiêu bông hoa để có ít nhất hai số mà hiệu của chúng...

Gửi bởi dottoantap trong 17-04-2019 - 16:25

Có 50 bông hoa giấy trong đó mỗi bông ghi một số tự nhiên từ 100 đến 149. Hỏi phải lấy ngẫu nhiên bao nhiêu bông hoa để có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 11

Khi chia các số tự nhiên cho 11 thì có 11 số dư (từ 0 đến 10). Theo nguyên lý Dirichlet, lấy ngẫu nhiên $\boxed {12}$ số tự nhiên thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 11 $\rightarrow$ hiệu của chúng chia hết cho 11.




#721414 Tính xác suất thỏa a+b=c+d=e+f

Gửi bởi dottoantap trong 14-04-2019 - 11:47

Cho các số 0, 1, 2, 3,4, 5, 6 lập một số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau dạng $\overline{abcdef}$. 

Tính xác suất để số lập được thỏa mãn a+b=c+d=e+f.

Đặt $S$ là tổng 2 chữ số, thì theo đề bài ta có $3S\leq \frac{6.7}{2}=21$ , dễ thấy $ S\in \left \{ 5,6,7 \right \}$.

- Với $S=5$ ta có các cặp $\left ( 0,5 \right );\left ( 1,4 \right );\left ( 2,3 \right )\rightarrow$ Số các số lập được $ \left ( 2! \right )^{3}.3!-\left ( 2! \right )^{2}.2!=40$

- Với $S=6$, ta có các cặp $\left ( 0,6 \right );\left ( 1,5 \right );\left ( 2,4 \right )\rightarrow$  tương tự, số các số lập được $ \left ( 2! \right )^{3}.3!-\left ( 2! \right )^{2}.2!=40$

- Với $S=7$ ta có các cặp $\left ( 1,6 \right );\left ( 2,5 \right );\left ( 3,4 \right )\rightarrow$ Số các số lập được $ \left ( 2! \right )^{3}.3!=48$

XS cần tìm:

$P=\frac{40+40+48}{\left | \Omega \right |}=\frac{128}{6.A_{6}^{5}}=\frac{128}{4320}=\boxed {\frac{4}{135}}$




#721413 Cho đa giác đều n đỉnh, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh tạo thành tam giác tù

Gửi bởi dottoantap trong 14-04-2019 - 11:25

Cho một đa giác đều $n$ đỉnh ($n$ lẻ, $n$$\geq$3). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi P là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết P=$\frac{51}{70}$. Có tất cả bao nhiêu số là các ước nguyên dương của $n$

A.5                                       B.6                                             C.4                                            D.2

                                                          (Thừa Thiên Huế, THPT Hai Bà Trưng; thi thử năm 2019)

Để tính nhanh, sử dụng công thức: với $n$ lẻ, số tam giác tù lập được là $nC_{\frac{n-1}{2}}^{2}$

Ta có:

$P=\frac{nC_{\frac{n-1}{2}}^{2}}{C_{n}^{3}}=\frac{51}{70}\Rightarrow n=37$

Vậy $n$ có $2$ ước dương $\rightarrow$ chọn đáp án $\boxed {D}$




#721158 Xác suất để số bi trắng người nam lấy được nhiều hơn số bi trắng người nữ lấy

Gửi bởi dottoantap trong 29-03-2019 - 09:57

Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 15 bi, hộp 1 chứa 5 bi trắng 10 bi đen, hộp 2 chứa 4 bi trắng 11 bi đen. Người nam lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp 1, người nữ lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 2. Tính Xác suất để số bi trắng người nam lấy được nhiều hơn số bi trắng người nữ lấy.

 

Có ai có thể giải giúp em không ạ?

Ta xem các bi là khác nhau đôi một.

Số phần tử không gian mẫu: $\left | \Omega \right |=C_{15}^{3}C_{15}^{2}$

Xét các tình huống:

a/ Nữ không lấy được bi trắng nào: $C_{11}^{2}\left ( C_{5}^{1}C_{10}^{2}+C_{5}^{2}C_{10}^{1}+C_{5}^{3} \right )$

b/ Nữ lấy được 1 bi trắng : $C_{11}^{1}C_{4}^{1}\left (C_{5}^{2}C_{10}^{1}+C_{5}^{3} \right )$

c/ Nữ lấy được 2 bi trắng : $C_{4}^{2}C_{5}^{3}$

XS cần tìm:

$P=\frac{a+b+c}{\left | \Omega \right |}=\frac{23325}{95550}=\boxed{\frac{311}{1274}}$




#721065 Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba...

Gửi bởi dottoantap trong 25-03-2019 - 15:29

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$

Mình xin tiếp sức bạn nhé!

Nhận thấy $(C_{11}^{2})^2$ là số bộ $\left ( A,B,C \right )$ thỏa đề bài nhưng có thứ tự. Ta có các trường hợp:

i/ $A=B=C$: có $1$ bộ 

ii/ Ít nhất có 2 phần tử bằng nhau: Giả sử $A=B$ thì $a=b \rightarrow 2a=9-c\rightarrow a=b=\overline{0,4}\rightarrow$ có $5$ cách chọn $a$. Tương tự có $5$ cách chọn $x$. Trong $5\times 5=25$ bộ này có $1$ bộ mà $A=B=C$ cho nên số bộ $\left ( A,B,C \right )$ có đúng 2 phần tử bằng nhau là $25-1=24$ và hơn nữa do có thứ tự, số bộ loại này là $24.C_{3}^{1}$.

Vậy số bộ 3 số nguyên dương thỏa yêu cầu đề bài là:

$\frac{(C_{11}^{2})^2-24.C_{3}^{1}-1}{3!}+25=492+25=517\text{ bộ}$




#721057 Xác suất để không có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10 bằng?

Gửi bởi dottoantap trong 25-03-2019 - 12:40

xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh khối 10 ; 5 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 12 thành một hàng ngang . Xác suất để không có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10 bằng?

Số phần tử không gian mẫu: $\left | \Omega \right |=10!$

Xét các trường hợp:

a/ Không có hs khối 12 ở giữa 2 hs khối 10:

Xếp 2 hs khối 10, rồi xem 2 hs này là 1 phần tử$\rightarrow$ Số cách xếp 10 hs là: $2!9!$

b/ Có 1 hs khối 12 ở giữa 2 hs khối 10:

Xếp 2 hs khối 10 và 1 hs khối 12, rồi xem 3 hs này là 1 phần tử$\rightarrow$ Số cách xếp 10 hs là: $2!C_{3}^{1}8!$

c/ Có 2 hs khối 12 ở giữa 2 hs khối 10:

Xếp 2 hs khối 10 và 2 hs khối 12, rồi xem 4 hs này là 1 phần tử$\rightarrow$ Số cách xếp 10 hs là: $2!A_{3}^{2}7!$

d/ Cả 3 hs khối 12 ở giữa 2 hs khối 10:

Xếp 2 hs khối 10 và 3 hs khối 12, rồi xem 5 hs này là 1 phần tử$\rightarrow$ Số cách xếp 10 hs là: $2!3!6!$

XS cần tìm:

$P=\frac{a+b+c+d}{\left | \Omega \right |}=\frac{2}{7}$