DinhXuanHung CQB

Cho $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} u_{1}=a>1\\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính 

$\lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}

Mình xin phép trình bày kỹ hơn

$U_n+1-U_n=U_n^2-U_n=U_n(U_n-1)>0$ nên $U_n$ là dãy tăng

Giả sử $(U_n)$ bị chặn trên. Khi đó tồn tại giới hạn của $(U_n)$ gọi là $l$ => $l=1$ vô lí vì $l>1$ nên $(U_n)$ không bị chặn trên

có $\frac{Un}{U_n+1-1}=\frac{U_n+1-U_n}{(U_n-1)(U_n+1-1}=\frac{1}{U_n1-1}-\frac{1}{U_n+1}$

=> $\sum \left ( \frac{u_{k}}{u_{k+1}-1} \right )=\frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1}=S_n$

$lim$ $S_n$ = $\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{a-1}$

răng cứ nghe sai sai @.@

đến đây hình như chưa ra đc 

oke rồi mà

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1996)

Có thể sử dụng $Dirichlet$ để đưa về BDT cuối cùng

$\frac{9(a+1)^2}{9a^2-12a+23}-\frac{2a}{a^2+1}-\frac{1}{5}=\frac{2(3a-1)^2(2a^2+2a+11)}{5(a^2+1)(9a^2-12a+23}\geq 0$

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1996)

Giả sử $c\geq b\geq a$ xét nếu $4a+3\geq 0$ thì

$\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10}-\frac{12(3a-1)}{50}=\frac{(3-a)(3a-1)}{10(a^2+1)}=\frac{-3(3a-1)^2(4a+3)}{50(a^2+1)}\leq 0$

=>$\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{3}{10}+\frac{12(3a-1)}{50}$

từ $a\leq \frac{-3}{4}$ để ý nếu $b\leq 0$ thì $VT\leq \frac{c}{c^2+1}\leq \frac{1}{2}<\frac{9}{10}$

BDT tương đương $\sum \frac{2a}{a^2+1}\leq \frac{9}{5}$ <=> $\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{2a}{a^2+1}+\frac{1}{5}$

Áp dụng $C-S$ $\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{(b+c-2)^2}{(b+c)^2+2}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2+2}\geq \frac{(a-1)^2}{4(a^2+1}$

mà $\frac{(a-1)^2}{4(a^2+1}-\frac{2a}{a^2+1}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}-\frac{5a}{2(a^2+1}>0$ có dpcm

Biện luận và giải bất phương trình theo $m$

$x+\sqrt{x^5+1}\geq m(x^2+1)$

Có $16$ phiếu ghi các số thứ tự từ $1$ đến $16$. Lấy lần lượt 8 phiếu không hoàn lại, gọi $a_i$ là số ghi trên phiếu thứ $i$ lấy được $(1\leq i\leq 8)$.

Tính xác suất $P$ để $8$ phiếu lấy được thỏa mãn $a_1<a_2<a_3<...<a_8$ và không có bất kì hai phiếu nào có tổng các số bằng $17$

Mong các bạn đăng bài sẽ để ý đến tên TOPIC là dành cho $2003$, mình thấy có 1 số bài hơi quá sức

Coi lại lời giải đi, cái in đậm này có cả đống phản ví dụ

Sorry nghen, sai rồi để mình xem lại

Bài 82: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

(Sưu tầm)

$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}$

Vậy thì cần cm $\sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$

Theo $AM-GM$ $ab+1\geq 2\sqrt{ab}$ => $\sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{a\sqrt{ab}}{2}$

Như vậy cần cm $\sum a\sqrt{ab}\leq 3=\frac{(a+b+c)^2}{3}$

Ta có bdt $3(\sum x^3y)\leq (x^2+y^2+z^2)^2$ (Vasile)

Như vậy thay $x=\sqrt{a}$ và tương tự thì ta có dpcm

Bài 74: 

Cho a, b, c là 3 số thực không âm. Chứng minh:

$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ac+c^2} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $

 

@Momo123: đề ban đầu chắc bị DOTOANANG gõ nhầm, thử (a,b,c) =(0.11; 0.5; 0.4) vào đề lúc đầu thấy VT<VP mà

$\sum \frac{(a)^{4}}{a^2+b^2+ab}=\sum \frac{(a)^{6}}{a^4+a^3b+a^2b^2}\geq \frac{(\sum a^3)^{3}}{\sum a^4+a^3b+a^2b^2}$

Ta cần chứng minh $\sum (a^4+a^3b+a^2b^2)\leq (\sum a)(\sum a^3)$

<=> $\sum a^2b^2\leq \sum a^3b$

Ta thấy nếu $\sum a^3b\geq \sum a^2b^2$ thì $\sum ab^3\geq \sum a^2b^2$

Mà $\sum (a^3b+ab^3+a^2b^2)\geq 3\sum a^2b^2$

<=> $\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$

Vậy có dpcm

NOTE : SAI RỒI NHÉ CÁC BẠN, MÌNH SẼ CHƯA XÓA LỜI GIẢI VÌ MÌNH ĐANG TÌM CÁCH GIẢI ĐẸP THEO HƯỚNG $SCHWARS$, NẾU KHÔNG TÌM RA MÌNH SẼ XÓA

Bài 69: Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^{2}-a+1}+\sqrt{b^{2}-b+1}+\sqrt{c^{2}-c+1}\geq a+b+c$

Đây là đề thi Olympic $30/4$ khối $10$ năm nay. Bạn tìm đọc lời giải nhé

Nếu có thể hãy đưa ra lời giải cụ thể ?

Bài 21:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)

P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không

Sử dụng $AM-GM$