Kylie Nguyen

Lâu lâu góp 1 bài cho vui.

Bài 122: Tìm nghiệm nguyên của pt x³-x²y +2x-3y-5=0

Rút y theo x y=$\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}+3}=x-\frac{x+5}{x^{2}+3}$

do x,y nguyên nên x+5 chia hết cho $x^{2}$+3

suy ra $x^{2}$-25 chia hết cho $x^{2}$+3...

Bài 108:Cho p là số nguyên tố, p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. Chứng minh rằng $2^{n}-2\vdots n$ (có thể dùng định lý Fermat bé)

n là số tự nhiên vì $4^{2}-1$ chia hết cho 3

xét n-1 = $\frac{4^{p}-4}{3}$

do p nguyên tố lớn hơn 3 nên áp dụng định lí Fecma ta có

$4^{p}-4 \vdots p$ mà .$4^{p}-4 \vdots 2 $  (2,p)=1 nên $4^{p}-4 \vdots 2p$

do (2p,3)=1 nên n-1 chia hết cho 2p

suy ra $2^{n-1}-1 \vdots 2^{2p}-1 =>2^{n}-2 \vdots 2^{2p}-1 \vdots n$

Bài 101 : Tìm các cặp số có 3 chữ số thỏa $\overline{abc}+ \overline{def}$ chia hết cho 498 và $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$ chia hết cho 5 

Đặt $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$=k (k nguyên dương) suy ra k chia hết cho 5

k=5 thì abc+def=6def chia hết 498 nên def chia hết 83 suy ra (abc,def)=(166,830)

k>=10 thì abc có 4 chữ số (loại)

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

Vậy pt vô nghiệm

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

 

x=0 không tồn tại y nguyên thỏa mãn

$x^{2}$=1 thì cũng không tồn tại y nguyên thỏa mãn

nếu $x^{2}$ >=4 thì vt>=4.1987=7948>3000>=VP

suy ra pt vô nghiệm