Ciel le plus sombre

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6 giờ 15 phút thì xong. Nếu người thợ thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và người thợ thứ hai làm riêng trong 4 giờ thì cả hai làm được 75% công việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc?

Cho đường tròn O. 1 điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn O tại B và C (B nằm giữa A và C, Ab>R). Kẻ cát tuyến DE với đường tròn O (D nằm giữa A và E, AD>DE). Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt tia CE tại P. Tia PB cắt đường tròn O tại M và cắt AE tại N.

a) Chứng minh tứ giác APEB nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra tam giác PNA đồng dạng với tam giác ENB.

b) Chứng minh DM//AP

c) Kẻ tia Ex//DM và Ex cắt AM tại Q. Chứng minh điểm Q thuộc đường tròn O

d) DM cắt BC tại I. Chứng minh đường thẳng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC.

Cho $(O)$. 1 điểm $A$ nằm ngoài đường tròn, kẻ đường thẳng $AO$ cắt $(O)$ tại $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$, $AB>R$). Kẻ cát tuyến $DE$ với $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$, $AD>DE$). Đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $A$ cắt tia $CE$ tại $P$. Tia $PB$ cắt $(O)$ tại $M$ và cắt $AE$ tại $N$.

a) Chứng minh tứ giác $APEB$ nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra $\Delta  PNA$ $\sim$  $\Delta  ENB$ .

b) Chứng minh $DM//AP$

c) Kẻ tia Ex//DM và Ex cắt AM tại Q. Chứng minh điểm Q thuộc đường tròn O

d) DM cắt BC tại I. Chứng minh đường thẳng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC.