nguyen minh hieu hp

Cho a,b,c>0 và $\sum a^{2}=1$

Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{9}{2(a+b+c)}$

Cái bước đánh giá đầu là Bunhiacopxki dạng phân thức cho $\frac{4}{y^{2}+z^{2}}$ và $\frac{1}{x^{2}}$

Lúc đầu mình viết nhầm biến.Sorry nha sửa lại rồi đó

Đặt A=$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A=$\sum \frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A+3=$\sum (\frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}})$

=>4A+3=$\sum (x^{3}.(\frac{4}{^{y^{2}}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}}))\geq \sum x^{3}.\frac{(2+1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sum x^{3}.\frac{9}{\sum x^{2}}\geq \sum (x^{3}.\frac{9}{\sum x^{3}})=9$

=>4A$\geq 6$

=>A$\geq \frac{3}{2}$

Lời giải cô mình chữa cho những ai quan tâm:

Đặt A=$\sum \frac{x}{y}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

A$\geq$$\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+xz}$

=>Đpcm <=> $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+xz)$

<=>$(x+y+z)^{6}\geq 81(xy+yz+xz)^{2}=27(xy+yz+xz)^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Bất đẳng thức trên đúng theo Cô-si 

$\frac{bc}{\sqrt{{a+bc}}}$ mà bạn