nguyen minh hieu hp

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}$

Cho a,b,c>0.Chứng minh bất đẳng thức:

$\sum \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{18}{5}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Lời giải cô mình chữa cho những ai quan tâm:

Đặt A=$\sum \frac{x}{y}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

A$\geq$$\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+xz}$

=>Đpcm <=> $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+xz)$

<=>$(x+y+z)^{6}\geq 81(xy+yz+xz)^{2}=27(xy+yz+xz)^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Bất đẳng thức trên đúng theo Cô-si 

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$.Chứng minh rằng $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Cmr:$\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{3}{2}$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:1+$4^{x}+4^{y}=z^{2}$

Phải là $\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \frac{1}{2} \sum \frac{b^{2}}{a+b}$ + $\frac{c^{2}}{a+c}$ chứ

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}} +\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} + \frac{ab}{\sqrt{c+ab}} \leq \frac{1}{2}$