Korkot

Giả sử n có nhiều hơn 3 ước. Gọi k là ước lẻ lớn nhất của n. Khi đó tồn tại số a|n, a>1 và (a,k)=1 sao cho a+k-1 | n. 

Mà a+k-1 > k $\Rightarrow$ k không phải ước lớn nhất của n (vô lý) 

$\Rightarrow$ n=$k^x$ với k là số nguyên tố lẻ và x là số nguyên dương

Bài 2: 2. Gọi các cạnh của tam giác là a,b,c là các số nguyên dương và $a \geq b \geq c$. (a,b,c không đồng thời bằng nhau)

Theo đề bài ta có $P=\frac{a+b+c}{2} \vdots a \Rightarrow a+b+c=2ka$

 3a >a+b+c =2ka nên a+b+c=2a (vô lý do b+c >a)

Từ đó suy ra mệnh đề sai

a) Ta nhận thấy với mọi cách đặt dấu ngoặc thì luôn có $\frac{10}{9}$. Vậy để số nguyên lớn nhất thì ta đặt 9 ở mẫu và các số còn lại ở tử 

$\Rightarrow$ cách đặt dấu ngoặc: A=10:(9:8:7:6:5:4:3:2)

b) Vì 7 là số nguyên tố và trong 10 số trên không có số nào chia hết cho 7 nên để A nguyên thì 7 ở mẫu số tức $A \vdots 7$ 

$\Rightarrow A \geq 7$

Để A=7 ta đặt dấu ngoặc như sau: 10:9:(8:7:6):(5:4:3):2=7

P/S bài này có trên Facebook của thầy Võ Quốc Bá Cẩn thì phải

Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm

$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$

Giả sử điều ngược lại. Xét $a+b \geq 2$ ta có $2(a^3+b^3) \leq (a+b)(a^3+b^3)=a^4+b^4+a^3b+b^3a \leq 2(a^4+b^4)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3 \leq a^4+b^4$ (*) 

$x^2+2a^2bx+b^5=0 (1); x^2+2b^2ax+a^5=0 (2)$

a=0 thì (2) có nghiệm, b=0 thì (1) có nghiệm. Tức $ab \neq 0$ nên ta có:

$\frac{\Delta'_1}{b^2}=\frac{a^4b^2-b^5}{b^2}=a^4-b^3<0$

Cmtt ta có $\frac{\Delta'_2}{a^2}=\frac{b^4a^2-a^5}{a^2}=b^4-a^3<0$

$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3<0$

Nhưng theo bđt (*) điều này vô lý nên ta có đpcm

giả sử tồn tại tập X, gọi các phần tử của X lần lượt là $x_1,x_2,...x_n$ với $x_n>x_{x-1}>...>x_2>x_1$ tức $x_1;x_2$ là 2 số nhỏ nhất trong dãy.

Xét $x_1,x_2$ ta có $x_2=x_1.k^2$ tức k<$x_2$. Nhưng do $x_2,x_1$ là 2 phần tử nhỏ nhất nên điều này xảy ra khi k=$x_1$ tức $x_2=x_1^3$

Giả sử X có nhiều hơn 2 phần tử.Xét $x_3$ với $x_2$ thì ta có 2 TH: $x_3=x_2.x_1^2$ hay $x_3=x_2^3$. Mặt khác, khi xét $x_3$ với $x_1$ ta có TH duy nhất $x_3=x_1.x_2^2$

$\Rightarrow x_2.x_1^2=x_1.x_2^2$ hay $x_2^3=x_1.x_2^2$ (loại cả 2 TH do lúc này ta có $x_1=x_2$)

$\Rightarrow$ X không thể có nhiều hơn 2 phần tử

Vậy X là các tập hợp gồm 2 phần tử nguyên dương $x_1,x_2 (x_1<x_2)$ thỏa $x_2=x_1^3$