Mihawkdacula

Cho tập hợp các ma trận $G = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ { - y}&x \end{array}} \right)\left| {x,y \in\mathbb{R} ,{x^2} + {y^2} \ne 0} \right.} \right\}$

a) Chứng minh rằng G cùng với phép nhân ma trận là một nhóm giao hoán.

b) Chứng minh rằng tập $H = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ { - y}&x \end{array}} \right)\left| {xy = 0,{x^2} + {y^2} \ne 0} \right.} \right\}$ là nhóm con của nhóm G.

c) Chứng minh rằng $G/H\cong G\cong \mathbb{C}^{*}$ với $\mathbb{C}^{*}$ là nhóm nhân các số phức khác 0.

Cho X, Y là hai không gian tôpô và $f:X\rightarrow Y$ liên tục. Chứng minh 

a) Nếu X khả ly và $f$ toàn ánh thì Y khả ly.

b) Nếu Y là không gian $T_2$ và $f$ đơn ánh thì X là không gian $T_2$. Chiều ngược lại có đúng không ?

Cho không gian vectơ Euclide $E$ với tích vô hướng $<\bullet,\bullet>$ và ánh xạ tuyến tính $f:E\rightarrow E$ thoả $<f(x),x>=0$ với mọi vectơ $x \in E$. Chứng minh rằng ma trận của $f$ trong một cơ sở trực chuẩn của $E$ phải là ma trận phản đối xứng.(x),x>

Cho hàm $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ có các đạo hàm riêng bị chặn.

a) Chứng minh hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}^3$.

b) Với mỗi $r>0$, kí hiệu $B_{r}$ là quả cầu có tâm gốc toạ độ và bán kính r trong $\mathbb{R}^3$. Tính giới hạn $\lim_{r\rightarrow0^{+}}\frac{1}{r^3}\int_{B_{r}}f(x)dx$.

Xét hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{R}^2$ cho bởi $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0,\quad(x,y)\in\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \\ 1,\quad x\in\mathbb{Q}^{c}\vee y\in\mathbb{Q}^{c}. \end{matrix}\right.$

Hàm số $f$ có khả tích trên hộp đóng $B=[0,1]\times[0,1]$ không ? Tính $I=\int_{B}f(x,y)d(x,y)$ nếu $f$ khả tích.