melodias2002

Cho số nguyên dương $n>3$ và tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Xét tập hợp $S$ gồm các tập con của tập $A$ thoả mãn mỗi tập con có $3$ phần tử và hai tập con khác nhau có chung với nhau không quá $1$ phần tử. Kí hiệu $f(n)$ là số lớn nhất các phần tử thuộc tập $S$. Chứng minh rằng $\frac{n(n-1)}{6} \geq f(n) \geq \frac{(n-1)(n-2)}{6}$

Có bao nhiều số tự nhiên có 2018 chữ số lập từ tập $S={0,1,2,3,4,5,6}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau $1$ đơn vị?

Cho $K$ là tập các số tự nhiên có 4 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số trong $K$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số chia hết cho $4$

Đầu tiên nhận xét: $a\geq \frac{-6}{5}$., ta chứng minh với mọi $a\geq \frac{-6}{5}$ đều thỏa mãn

Nhận xét 2: $a_3 >0$ với mọi $a\geq \frac{-6}{5}$

Xét $a=6$ thì $a_n=6$ với mọi $n$ nên thỏa mãn.

Xét $\frac{-6}{5}\leq a < 6$ thế thì $0<a_3<6$, bằng quy nạp ta chứng minh đc $a_n<6$ mọi $n>3$, từ đó $a_n$ tăng với mọi $n>3$ nên có g/h

Xét $a>6$ tương tự: $a_n>6$, $a_n$ giảm nên cũng có g/h

Còn $a=-1$ thì $\lim x_n=1$ ạ

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $AH$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $OM$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $MP=MQ$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$, cắt $AC,AB$ tại $E,F$. $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $L$ là hình chiếu của $K$ lên $AH$. Chứng minh $B,F,H,L$ thuộc một đường tròn

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:

i) $u_1=p>0,u_2=q>0$

ii) $u_{n+2}=\sqrt[3]{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. $(AIB),(AIC)$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Chứng minh $(AEF)$ đi qua điểm chính giữa cung $BAC$ của $(ABC)$

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=2sinx+2cosx-2sin2x$ trên $R$

Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành. Điểm $C$ thuộc $(O)$. $CA$ cắt $(O')$ tại $D$. Chứng minh $KC=KD$

Câu 1:

a) ĐK: $2 \leq x \leq 4$

Phương trình $\Leftrightarrow (x-3)(\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1))=0$

Mà $x\geq 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-x}+1}-(2x+1) \leq \frac{1}{\sqrt{2-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{4-2}+1}-(2.2+1) <0$

$\Rightarrow x=3$

b) Nhân 2 vế của pt 1 với 2 rồi trừ 2 pt theo vế, ta được $y^2+8y+7-2xy=-x^2+8x \Leftrightarrow (y-x)^2+8(y-x)+7=0$

$ \Leftrightarrow y-x=-1$ hoặc $y-x=-7$

Thế vào pt 1 tìm được x,y 

P/s: Các bạn giúp mình ý 4 câu hình với ạ..

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Đường cao $AH$. $E$ là trung điểm $AH$. $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $DE$ cắt $(I)$ tại $F$. CMR $FB \perp FD$.

$a^2+b^2+c^2+abc=4 \Rightarrow$ Tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho $a=2.cos \alpha, b=2.cos \beta, c=2.cos \gamma$

Ta cần chứng minh $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$

Bổ đề: $x^2+y^2+z^2 \geq 2xycos\alpha +2yzcos\beta +2zxcos\gamma$ (Chứng minh bằng cách xét $\Delta \leq 0$)

Từ bổ đề ta được $\frac{cos\alpha}{z} +\frac{cos\beta}{x} +\frac{cos\gamma}{y} \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}$

Chọn $x,y,z$ sao cho $\frac{1}{z}=2,\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=1$, ta có $2cos\alpha + cos\beta + cos\gamma \leq \frac{9}{4}$ (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{sin\beta}=\frac{1}{sin\gamma}=\frac{2}{sin\alpha} \Rightarrow \Delta (\alpha,\beta,\gamma)$ ~ $\Delta (1,1,2)$

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Điểm $P$ bất kì trên $BC$. $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB$,$AC$. $Q$ là giao của $BK$ và $CH$. Chứng minh $PQ \perp HK$