melodias2002

$AA \cap BB$ coi như là giao điểm tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$,

A quên pascal thank you ;v 

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $AD \cap BC = R$, $AC \cap BD = S$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $R,S,Q$ thẳng hàng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. CMR $(ab+bc+ca)^3 \geq 81(abc)^2(a^2+b^2+c^2)$

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-xy=1\\ \frac{x^7+1}{x+y}+x^3y^3=x^4+y^4 \end{matrix}\right.$

Ta có: $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}=\sqrt[4]{\frac{a^2}{a(b+c)}}\geq \sqrt[4]{\frac{a^2}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}}\doteq \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a+b+c}} \Rightarrow P\geq \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{a+b+c}}\geq 2$

 

p/s: Không có dấu "=" xảy ra

Mình nghĩ đoạn cuối của bạn sai rồi.
Với cả dấu "=" xảy ra khi a=0, b=c và các hoán vị

Cho $a,b,c\geq0$. Chứng minh rằng $\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}\geq2$

Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,b,c,d$ là các số thực) thoả mãn $f(-1)=100,f(-2)=200,f(-3)=300$. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{f(10)+f(-14)}{16}-582$

 

$A= 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-[2cos^{2}(\frac{x+y}{2})-1]$

Đặt $t=cos(\frac{x+y}{2}),m=cos(\frac{x-y}{2})$ A trở thành $-2t^2+2mt+1=-2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}$

 

chị cho em hỏi đoạn biến đối cuối cùng ẩn $m$ sao k có thế ạ?

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max(a,b,c)$

Khi đó $1=a+b+c \leq 3c \Rightarrow c \geq \frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{1}{3} \leq c \leq 1$

Ta có $\frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{a^2+b^2+4} + \frac{1}{c^2+2} \geq \frac{4}{(a+b)^2+4} + \frac{1}{c^2+2} = \frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4}$

Ta sẽ CM $\frac{4}{(1-c)^2+4} + \frac{1}{c^2+4} \geq \frac{4}{3}$  (1)

Thật vậy: (1) $\Leftrightarrow 3(4(c^2+2)+c^2-2c+5) \geq 4(c^2+2)(c^2-2c+5) \Leftrightarrow 4c^4-8c^3+13c^2-10c+1 \leq 0 \Leftrightarrow (c-1)(4c^3-4c^2+9c-1) \leq 0$ (*)

Mà $4c^3-4c^2+9c-1=c(2c-1)^2+8c-1 \geq 8c-1 >0$ (Vì $c \leq \frac{1}{3}$) và $c \leq 1$

Nên (*) đúng. Ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị

Cho $0<a,b,c<1$. CMR $2(a^3+b^3+c^3)<3+a^2b+b^2c+c^2a$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin2^2x}+...+\frac{1}{sin2^nx}$

Giải phương trình
$\sqrt{x^2+x-1} + \sqrt{x-x^2+1} = x^2-x+2$

Theo BDT $Bunhiacopxki$ ta có: $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \frac{ab}{ab+c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$

Vì BDT đồng bậc nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Đến đây đưa về bài toán quen thuộc rồi. (phần còn lại EZ)
 

Bạn full nốt mình xem với :v 

P/s: Mình có nghĩ ra cách khác:

Ta có $(a^2+bc)(b^2+ca)=a^2b^2+c(a^3+b^3+abc)\geq a^2b^2+c[ab(a+b)+abc]=ab(a+c)(b+c)$

Suy ra $\sum \frac{ab}{\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}} \leq \sum \sqrt{ \frac{ab}{(a+c)(b+c)} } \leq \sum \frac{1}{2} (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}) = \frac{1}{2} (\sum \frac{a+c}{a+c}) = \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài 44: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq \sqrt[4]{27(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$

Đặt $P=\sum \frac{x^2}{y}; S=\sum x^2y^2$

Theo BĐT $Holder: P.P.S \geq (x^2+y^2+z^2)^3$

Ta chứng minh $(x^2+y^2+z^2)^3 \geq S\sqrt{27(x^4+y^4+z^4)}$

Thật vậy: $S\sqrt{x^4+y^4+z^4}=\sqrt{(\sum x^4)(\sum x^2y^2)^2}\leq\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^6}{27}}=(x^2+y^2+z^2)^3.\frac{1}{\sqrt{27}}$

Suy ra $S\sqrt{27(x^4+y^4+z^4)} \leq (x^2+y^2+z^2)^3$ (ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 40: Cho các số $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum\frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq\frac{1}{2}$