melodias2002

Tìm nghiệm nguyên $\frac{x^2+xy+y^2}{x+2y}=\frac{7}{5}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh răng $\frac{a^2}{2a+1}+\frac{b^2}{2b+1}+\frac{c^2}{2c+1}\leq\frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6}}$

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn x+y+z=9. Chứng minh rằng $\sum \frac{x^3+y^3}{xy+9} \geq 9$

B1: Cho $a,b,c>0$. CMR $\sum\frac{a}{a+b}\leq\frac{3}{2}$

B2: Cho $x,y\geq0$ thoả mãn $2x+y\leq4$ và $2x+3y\leq6$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=x^2-2x-y$

Cho $a,b,c>0$. CMR $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2\geq3(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})$

Cho a,b,c>0. CMR $\sum\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Câu 5:

a) Trong 21 điểm đã cho có ít nhất 6 điểm cùng màu, giả sử đó là các điểm $A_1$, $A_2$,...,$A_6$

Trong 5 đoạn thẳng $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_1A_4$, $A_1A_5$, $A_1A_6$ có ít nhất 3 đoạn cùng màu, giả sử đó là các đoạn $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_1A_4$ có màu chàm.

Xét 3 điểm $A_2$, $A_3$, $A_4$

+ Nếu 2 trong 3 điểm này được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu chàm, giả sử đó là $A_2$ và $A_3$ thì tam giác $A_1A_2A_3$ thoả mãn bài toán

+ Nếu không có 2 điểm nào trong 3 điểm này được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu chàm thì các đoạn $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$ đều có màu tím, khi đó tam giác $A_2A_3A_4$ thoả mãn bài toán

Vậy ta có ĐPCM

$\sum \frac{a}{\sqrt{2-bc}} \leq \sum \frac{a}{\sqrt{2-\frac{b^2+c^2}{2}}} =\sum \frac{a}{\sqrt{2-\frac{3-a^2}{2}}}=\sum \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{a^2+1}}\leq\sum \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2a}}=\sum \sqrt{a}$

Mà $\sum \sqrt{a}\leq\sqrt{3(a+b+c)}\leq\sqrt{3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=3$

Suy ra  $\sum \frac{a}{\sqrt{2-bc}} \leq 3$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho các số $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq1$

Cho $a,b,c >0$. CMR: $\sum \sqrt {\frac {bc}{a^2+3ab}} \geq \frac {3}{2}$

Tìm số dư khi chia $5^{2018}$ cho $9$

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$, $AC$ tại $F$, $E$. Chứng minh rằng: $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung thuộc góc A của tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC.$ Đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F,G,H,I.$ Chứng minh rằng nếu các đường thẳng qua $D,F,H$ vuông góc $BC,AC,AB$ đồng quy thì các đường thẳng qua $E,G,I$ vuông góc $BC,AC,AB$ cũng đồng quy.

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3-x^2y+xy^2-2xy-x+y=0\\ \sqrt{x-y}=x^3-2x^2+y+2\\ \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq4(a+b+c-abc)$