melodias2002

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{2a+b+c} +\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

$\sum \frac{a^3(a+b)}{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Cho các số $a,b,c$ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR:
$(a^3+b^3+c^3+3abc)^2\geq4(\sum ab)(\sum a^2b^2)$

Tìm $x,y \in \mathbb{N}$ thoả mãn $y^4+4 \vdots 85^x$

\[a, b, c> 0\]

\[a+ b+ c= 1\]

CM: \[\sqrt{1+ \frac{a}{bc}}+ \sqrt{1+ \frac{b}{ca}}+ \sqrt{1+ \frac{c}{ab}}\geq 6\]

$\sum \sqrt{1+\frac{a}{bc}} = \sum \sqrt{\frac{a+bc}{bc}} = \sum \sqrt {\frac{(a+b)(a+c)}{bc}} \geq 3\sqrt[3]{\prod \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}}=3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq3\sqrt[3]{8}=6$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum \frac{a^4}{a^3+b^3} \geq \frac{a+b+c}{2}$

ĐK: $x \geq \frac{1}{2}$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sqrt{\frac{bc}{a(3b+a)}}+\sqrt{\frac{ac}{b(3c+b)}}+\sqrt{\frac{ab}{c(3a+c)}}\geq \frac{3}{2}$

Theo giả thiết: $1=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \Rightarrow xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2-\frac{1}{x+y+z} $

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2(x^2+y^2+z^2)+\frac{2}{x+y+z}$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2) = (x+y+z)^2+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z} \geq 3 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 1 $

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$